3.5 差分与ARIMA表达式

3.5 差分与 ARIMA 表达式

本节摘要：差分把相邻观测相减以去掉随机或线性趋势。一阶 z_t=y_t-y_{t-1}，二阶再减一次得到 y_t-2y_{t-1}+y_{t-2}。滞后算子下，d 阶差分是 (1-B)^d y_t。ARIMA(p,d,q) 即 φ(B)(1-B)^d y_t = θ(B) ε_t（可加常数/漂移）。I 在名字里像积分，因为差分的逆是把变化累加回去——预测时你就是在做这件事。

核心问题

阅读完本节，你应当能够：

1. 手算示意序列的一阶、二阶差分，并指出损失的期数。
2. 用滞后算子读写 ARIMA 一行式，指出 φ、差分、θ 各管哪一段。
3. 解释过差分如何引入 (1-B) 到 MA 侧，形成单位根 MA。

一、I 不是积分课，是差分次数

原文写得很干脆：名字里的 Integrated 在操作上就是差分了几次。随机游走是一阶单整，记 I(1)，差分一次变平稳。二阶单整更少见，对应「变化本身还在游走」，例如某些加速膨胀的水平。每次差分损失一个观测：n 长的序列一阶后剩 n-1。月度本来就短，d=2 再季节差分，有效长度掉得很快，信息准则和根估计都会抖。

示意水平：10, 12, 15, 13, 16

一阶：2, 3, -2, 3

二阶：1, -5, 5

二阶已经很吵。若一阶已在零附近晃，不要被「再差一次更平稳」诱惑。过差分的代数：若 y 已平稳，(1-B)y 相当于给 MA 乘上 (1-B)，即引入 θ=-1 的因子，可逆性贴边，ACF 滞后 1 趋向 -1/2 一类负相关（白噪声差分后精确相关为 -0.5）。这是第 1 章图形规则的来源。

二、一行式把三块焊住

滞后算子 B：B y_t = y_{t-1}，B^k y_t = y_{t-k}。

非季节 ARIMA(p,d,q) 常写：

φ(B) (1-B)^d y_t = c + θ(B) ε_t

φ(B)=1-φ1 B-…-φp B^p，θ(B)=1+θ1 B+…+θq B^q。左边先差分再对差分序列做 AR，右边是 MA 冲击。c 的位置因实现而异：有的放在差分后的方程里当漂移。阅读软件文档时看「常数」是作用在 y 还是作用在 Δ^d y。

特殊情形对照，便于把第 1–2 章用过的模型认回来：

图 差分是去，预测是把变化加回去

三、预测就是把 I 反过来

一步预报差分序列，再加回上一期真实水平，得到下一期水平。多步则用预报水平继续往前加，不确定度包含了每一跳差分预报的误差。这就是「Integrated」在预测里的实感：你不是在预报抽象的 z_t 交差，而是把变化积分回业务单位。

常数与漂移：d=0 时常数进入水平均值；d=1 时方程里的常数常对应水平里的线性漂移。漏掉真实漂移，长期预报会水平飞走或钉死。第 2 章估计表要看这一项是否被默认关掉。对潮位，物理上有界，长期线性漂移不合理，即使检验爱加常数，也要用领域知识否决。对扩容中的仓库，漂移可能合理，但结构折后应分段，而不是一条直线漂十年。

⚠️ 常见坑：在对数序列上做 ARIMA，预报完忘记指数还原，还把对数误差当成件数误差。变换是模型的一部分，还原规则写进预测函数。

💡 关键直觉：d 决定你在哪一层地形上走 ARMA；走完必须按原路爬回业务单位。爬回时漏了变换或漏了季节差分，数字对内好看、对外错单位。

季节情形只是再乘 (1-B^m)^D，下一章展开。非季节 ARIMA 对年循环是盲的：普通差分不减「去年同月」，只减「上个月」，年鼓包会残存在滞后 12。一行式里没有 B^{12} 项，就不要指望它懂季节。

手算帮助记忆：

y = [40, 42, 41, 45]
z = [2, -1, 4]          # d=1
# ARIMA(1,1,0)：z_t = φ z_{t-1} + ε_t
# 预报下一期 z 后再加回最后的 45，得到水平预报
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四、单整阶数、还原清单，以及季节因子还不在这一行里

单整阶数 I(d) 表示要差 d 次才平稳。多数业务水平是 I(0) 或 I(1)，I(2) 少见，出现时先怀疑过差或该分段。检验单整阶数的实务做法就是第 1 章那套：差一次，再看图和 ADF/KPSS，安静了就停。理论可以写到更高阶，值班不必。

还原清单必须与变换、差分、季节差分的顺序相反。若先对数再普通差分再季节差分，预报时先把季节差分加回，再加回普通差分，再指数还原。漏一步，单位就错：对数件数被当成件数，季节差分后的变化被当成库存水平。把还原写成与拟合对称的函数，而不是靠记忆。第 2 章持出误差必须在还原后的业务单位上算。

常数位置：有的实现把 c 放在差分方程，d=1 时 c 是漂移，长期水平沿直线走；有的默认 d>0 不含常数。潮位有界，长期直线不合理，即使系数显著也否决。扩容仓库可以有漂移，但结构折后应分段，一条漂移漂十年会在折点后系统性偏。把常数/漂移选择写进估计表，和第 2.1 节同一纪律。

这一行式没有 (1-B^m)，所以看不见年循环。滞后 12 的峰不是靠把 q 写成 12 能合法进入这一行的——那只是用短 MA 去模仿季节算子，参数脆、持出差。下一章把 Φ(B^m) 和 (1-B^m)^D 乘进来，才是同一套语言的季节版。读到这里若你的残差还在 12 出带，不要回头把本章的 q 加大，带着一行式去第 4 章加槽。

五、动手对照：一行式与还原清单

φ(B)(1-B)^d y = θ(B)ε。先差后 AR，右边是 MA。预报按相反顺序把差分加回，有对数则最后指数还原。漏一步单位就错。这一行没有 B^m，滞后 12 的峰不要靠 q=12 塞进来，去第 4 章加季节槽。过差分等于把 (1-B) 赶到 MA 侧。

问题：d=1 时常数是什么？

常对应漂移，长期水平沿直线走。潮位有界应否决长期直线；扩容仓库可保留但结构折后要分段。

问题：ARIMA(0,1,0) 是什么？

随机游走，朴素「明天等于今天」加冲击。赢不了它，复杂定阶没有增量。

六、场景推演（示意，非真实序列）

示意 40,42,41,45 一阶得 2,-1,4，损失一个点。二阶会更吵，一阶已晃就停。一行式左边 AR 乘差分，右边 MA 乘冲击。预报反向累加回件数，有对数最后指数还原，漏一步单位错。d=1 的常数常是漂移；潮位否决长期直线，扩容仓可留但折后分段。ARIMA(0,1,0) 就是朴素加冲击，(0,1,1) 与简单指数平滑亲缘。过差分把 (1-B) 赶到 MA 侧。没有 B^m 就不要用 q=12 冒充季节。单整阶数用第 1 章手续决定，I(2) 少见，先怀疑过差或该分段。还原清单与拟合顺序相反，写成函数而不是靠记忆。

七、口令卡与计算备忘

口令：φ(B)(1-B)^d y = θ(B)ε，预报反向累加并还原变换。I 是差分次数。一阶通常够，再多先怀疑过差。过差分把 (1-B) 赶到 MA 侧。d=1 常数常是漂移，有界否决，折后分段。(0,1,0) 即朴素加冲击。没有 B^m 就去季节章，禁止 q=12 冒充。损失观测数等于 d 再加季节 D。还原顺序与拟合相反，写成函数。把特殊情形表用来认出平滑与朴素亲缘，少调无增量的参。

八、原文要点补全

原文：I 代表积分，操作上是差分的逆。一阶 z_t=y_t-y_{t-1}，二阶 y_t-2y_{t-1}+y_{t-2}。ARIMA(p,d,q) 表示差分 d 次后服从 ARMA(p,q)。滞后算子写法 φ(B)(1-B)^d y_t=θ(B)ε_t。特殊情形包括平稳 AR、平稳 MA、随机游走 (0,1,0)、与简单指数平滑亲缘的 (0,1,1)。过差分对已平稳序列再乘 (1-B)，引入 MA 单位根。预报时把差分累加回业务单位，有变换则原路还原。季节需要再乘 (1-B^m)^D，不在非季节一行式里。把原文「通常一阶或二阶足够」当成停手规则，d=3 先怀疑过差或该分段，而不是更保险。

对照表（补全动作）

九、示意算术走一遍

手算 40,42,41,45 的一阶得 2,-1,4，样本从 4 点变成 3 点。若对已平稳的 2,-1,4 再差一次得 -3,5，序列更吵，滞后 1 容易大幅为负，这就是过差分的小样本长相。预报下一期差分若是 1，加回最后水平 45 得 46，这才是 Integrated 的反向累加。若中间还取过对数，必须最后指数还原再报件数。一行式左边 AR 乘差分、右边 MA 乘冲击，没有 B 的 12 次方就解释不了年循环。d=1 方程里的常数常是漂移，潮位有界应否决十年直线；仓库扩容可留，但新仓启用后要分段。把还原顺序写成与拟合对称的三条，漏一条就会单位错误。

十、还原顺序必须对称

拟合时先变换再差分，预报时必须先把差分累加回去再逆变换，漏一步单位就错。一行式左边是自回归乘差分、右边是滑动平均乘冲击；没有季节滞后算子就解释不了去年同月。常数在水平模型里是均值，在一阶差分里常是漂移，有物理上界的水位应否决十年直线。过差分在代数上就是把差分因子赶到滑动平均一侧。

要点速记

• I 对应差分次数；预测时再累加回去。
• 一阶去线性/随机趋势，二阶很少需要；再多先怀疑过差分。
• 一行式：AR 多项式 × 差分 = MA 多项式 × 冲击。
• 特殊情形能对上朴素规则与指数平滑亲缘。
• 过差分 = 把 (1-B) 赶到 MA 侧。
• **常数在 d=0 与 d=1 意义不同**：均值 vs 漂移。
• 变换与季节差分必须原路还原。

下一章把季节算子乘进来，并拿 ARIMA 和一套经典方法、一堆现场坑对照，收束整条能跑的路径。