4.1 SARIMA

4.1 季节性 ARIMA：SARIMA

本节摘要：SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m 在普通 ARIMA 之外增加季节 AR、季节差分、季节 MA 和周期长度 m。乘法形式用滞后算子写成：季节 AR × 非季节 AR × 季节差分 × 非季节差分 作用于 y，等于季节 MA × 非季节 MA 作用于冲击。月度 m=12，季度 m=4，周度日数据 m=7。季节阶看 ACF/PACF 在 m、2m 处的截尾拖尾，不要把普通 q 写成 12。

上手前先明确

阅读完本节，你应当能够：

1. 解释每个大写槽 P、D、Q 与小写槽的分工。
2. 在差分后的图上分别读短滞后与季节滞后。
3. 给出一条月度示意的识别顺序：先 m，再 d/D，再 p/q 与 P/Q。

一、普通差分减的是上个月，不是去年同月

日发货有周末低谷，月用电有夏季高峰。相邻差分 Δy_t=y_t-y_{t-1} 能削短趋势，削不掉「每年这个月像去年这个月」。ACF 在滞后 12 仍高，残差 Ljung-Box 在 m=12、24 才拒绝。把普通 MA 加到 12，等于用 12 个短冲击去模仿一次年记忆，参数又多又脆。正确装置是季节差分：y_t - y_{t-m}，以及季节 AR/MA：直接连到 t-m、t-2m。

记号 SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m：

• p,d,q：非季节，看滞后 1、2、3…
• P：季节 AR，连到 m、2m…
• D：季节差分次数，常用 0 或 1
• Q：季节 MA
• m：周期长度，由日历或图决定，不是估出来的「差不多 11.4」

原文强调乘法形式：非季节算子与季节算子相乘，假设两套模式相对独立但共同作用于序列。加法季节（只在均值上加哑变量）是另一条路，日历极稳时更简单；形状会慢慢变时，乘法 SARIMA 更合适。

二、算子怎么乘

B y_t = y_{t-1}。非季节差分 (1-B)^d，季节差分 (1-B^m)^D。

非季节 AR：φ(B)=1-φ1 B-…-φp B^p

季节 AR：Φ(B^m)=1-Φ1 B^m-…-ΦP B^{Pm}

MA 侧同样：θ(B) 与 Θ(B^m)。

乘法 SARIMA：

Φ(B^m) φ(B) (1-B^m)^D (1-B)^d y_t = Θ(B^m) θ(B) ε_t

先把趋势和季节单位根减掉，再在剩下的平稳（含季节平稳）序列上同时吃短记忆和季节记忆。识别顺序建议写死：

1. 定 m：周、月、年，看图不要猜。
2. 定 d：普通 ADF/图，通常 0 或 1。
3. 定 D：季节滞后 ACF 是否还粘；通常 0 或 1，D=2 极少。
4. 在已做 d、D 的序列上：短滞后定 p、q，季节滞后定 P、Q。
5. 短名单进似然、AIC/BIC、残差 Q（m 要覆盖季节）。

图 两套滞后两套槽，不要混进同一个 q

三、示意与样本消耗

假设月度示意用电（教学数字，12 个月循环抬升）：某年 10,12,11,13,12,18,20,19,14,12,11,10，下一年整体 +2。m=12 几乎能从折线读出。D=1 后年循环被减掉，再看是否还要 d=1 去剩余斜坡。P=1 表示今年 7 月仍直接连着去年 7 月的惯性；Q=1 表示去年同月的意外还在修正今年。

⚠️ 常见坑：自动定阶在无季节网格里吐出 (0,1,12)。AIC 好看，持出一到明年同月就露馅。看见 12，先问 m，再问 D、Q。

💡 关键直觉：季节槽只连接「整数个周期之前」，短槽只连接「最近几天」。混用等于让模型用错误的时间距离去记一件事。

估计与诊断和普通 ARIMA 相同，只是 k 更大、自由度减法里常含 P+Q，Ljung-Box 的 m 必须跨过季节。过季节差分同样存在：已季节平稳再 D+=1，会在滞后 m 看到大负 ACF。原则仍是最小的 D 让季节滞后安静。

概念拟合：

# 月度：非季节 (1,1,1) 季节 (0,1,1) 周期 12
fit = SARIMAX(y, order=(1,1,1), seasonal_order=(0,1,1,12)).fit()
# 残差 ACF 同时看 1..3 与 12、24
​

与外生回归结合（SARIMAX）可加促销、温度，那是扩展，不是本课必须。先保证纯季节槽能把日历重复吃完，再往右边加 X。X 若已含月份哑变量，再加季节 AR 可能打架，短名单里不要两套季节装置全开到最大。

四、季节识别的刀口怎么读，以及加法季节何时更省事

季节 PACF 在滞后 m 截尾、季节 ACF 拖尾，像季节 AR(1)，P=1。季节 ACF 在 m 截尾、季节 PACF 拖尾，像季节 MA(1)，Q=1。最常见的月度起点 (0,1,1)12 或 (1,1,1)(0,1,1)12，来自「季节差分后再用季节 MA 吃剩余的年相关」，不是神秘默认。若 D=0 且季节 ACF 缓慢粘着，先加 D，不要先加 P。过季节差分后滞后 m 的 ACF 大幅为负，减 D。规则与非季节完全平行，只是把「滞后 1」换成「滞后 m」。

加法季节（月份哑变量 + 普通 ARIMA）在日历极稳、不想吃样本时更省事。乘法 SARIMA 允许季节形状有记忆、慢慢变。零售促销日历年年差不多，哑变量够用；气候与活动在变，季节 ARMA 更弹性。两套不要同时开到最大：月份哑变量已经抽走季节均值，再加高阶 P、Q，容易打架。短名单里二选一为主，另一个当对照。

周与年叠在一起（日数据既有星期又有年）超出单 m 的 SARIMA。实务要么聚合到周再做年季节，要么用两套哑变量，要么承认经典 SARIMA 只管一层 m。不要设 m=365 去估日频年季节，样本和参数都会崩。小时负荷的 m=24 可以，再叠星期用哑变量往往比再套一层季节阶干净。

估计后残差必须在短阶和季节阶都白。只报 m=10 的 Q 检验通过，等于没验收季节。覆盖 12、24 的 Q 与残差 ACF 是同一检查单上的两行。k 变大后 BIC 更爱把季节阶罚掉，若图上季节峰仍在，不要只信 BIC 把 D 或 Q 删光，应看持出是否在旺季系统性偏。旺季偏是季节槽的业务语言，比准则更响。

五、动手对照：月度从哪一组起步

m=12 先写死。D 常用 1，d 用图和 ADF 在 0 或 1 里选。P、Q、p、q 从 0 或 1 长起，不要四面开花。残差 ACF 同时看 1..3 与 12、24。看见自动定阶吐出 (0,1,12)，先问季节槽，不要当普通 MA(12)。两年月度估季节阶很虚，循环次数不够就用季节朴素或哑变量。

问题：加法哑变量和乘法 SARIMA 怎么选？

日历极稳用哑变量省样本；季节形状会变用 SARIMA。不要两套同时开到最大。

问题：日数据又有星期又有年怎么办？

单 m 管一层。可聚合到周再做年季节，或星期用哑变量。不要设 m=365 硬估。

六、场景推演（示意，非真实序列）

月用电示意夏天高、次年整体 +2。m=12 从折线读出。先 d 再 D：季节滞后仍粘才季节差分，D=2 极少。差分后短滞后定 p、q，季节滞后定 P、Q，口诀与非季节平行，只是把滞后 1 换成滞后 12。起步常用季节 (0,1,1)12，从 0/1 长起。残差必须看 12、24，Q 的 m 要覆盖周期，自由度常含 P+Q。两年月度循环太少，用季节朴素或月份哑变量更老实。加法哑变量与乘法季节不要同时开到最大。日频叠星期与年，单 m 管一层，不要 m=365。过季节差分在滞后 m 出大负相关，减 D。旺季持出系统性偏，比 BIC 把季节阶罚掉更响。

七、口令卡与计算备忘

口令：先 m，再 d/D，再短阶与季节阶。乘法两套算子相乘。季节口诀把滞后 1 换成滞后 m。D 常用 0 或 1。起步 (0,1,1)m 从 0/1 长起。残差与 Q 覆盖 12、24。循环次数不够用季节朴素或哑变量。加法与乘法不要同时开满。单 m 管一层，日频年季节不要 m=365。过季节差分在 m 处大负相关。看见自动 (0,1,12) 问季节槽。旺季持出偏比 BIC 删季节更响。k 含 P、Q，样本更吃紧。

八、原文要点补全

原文 SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m：非季节部分与标准 ARIMA 相同；季节 AR 连到 m、2m；季节差分 (1-B^m)^D；季节 MA 连到季节滞后的误差；m 为月 12、季 4、周 7。乘法形式 Φ(B^m)φ(B)(1-B^m)^D(1-B)^d y=Θ(B^m)θ(B)ε。识别：先 m，再 d，再 D（季节滞后 ACF 是否还粘），再在短滞后定 p、q，在季节滞后定 P、Q。建模步骤与 ARIMA 相同：预处理、识别、MLE 估 φθΦΘ、残差白噪声与 Ljung-Box、预测。阶的确定往往迭代，结合 AIC、BIC。把「不要把 q 写成 12」当成原文「季节部分专门建模季节」的操作翻译。样本短时季节阶从 0 或 1 长起，循环次数不够就用季节朴素或哑变量。

对照表（补全动作）

九、示意算术走一遍

月度示意两年、每年 12 点，季节循环只重复两次，估 P、D、Q 会虚。起步记 m=12，D 先看季节滞后是否还粘，粘则 D=1，再在短滞后读 p、q，在 12、24 读 P、Q。残差 Q 的 m 至少覆盖 12，最好 24，自由度记得减季节阶。若自动定阶给出非季节 MA(12)，翻译成「程序在用短冲击模仿年记忆」，正确装置是季节 MA 或季节差分。加法月份哑变量在日历极稳时更省样本；与乘法季节同时开满会打架。日频既有星期又有年，单 m 只管一层，不要设 365。把循环次数写在定阶笔记第一行，两年月度就不会假装能估高阶季节 AR。旺季持出若仍系统性偏低，即使 BIC 把季节阶罚掉，也应以业务偏差为准把 D 或 Q 留住。

十、季节槽的最小样本纪律

季节自回归与季节滑动平均极吃循环次数：两年月度只有两个循环，高阶季节系数会虚。起步只记周期、先看要不要季节差分，再在短滞后与周期倍数上分别读阶。自动定阶吐出普通十二阶滑动平均，应翻译成程序在用短冲击模仿年记忆，正确装置是季节槽而不是把普通阶拉到十二。加法月份哑变量在日历极稳且样本紧时更省；与乘法季节同时开满容易打架。

核心回顾

• 普通差分不懂「去年同月」：要用季节差分和季节 AR/MA。
• 乘法形式两套算子相乘：短记忆与季节记忆分槽。
• 先定 m，再 d/D，再短阶与季节阶。
• q=12 几乎总是错误翻译：应考虑 Q 或 D。
• 季节阶极吃样本：从 0/1 长起。
• 过季节差分在滞后 m 出大负相关。
• Q 检验的滞后要覆盖季节周期。

下一节把「残差终点」说死：白噪声是什么、不是什么，以及为何原始业务序列几乎从来不是白噪声。