2.1 卷积层：特征检测的第一道工序
2.1 卷积层：特征检测的第一道工序
本节摘要：卷积层是主车间的核心工位：一个小小的系数矩阵（卷积核）在输入上滑动，每个位置做加权求和，把"这里有没有某种局部模式"写成特征图上的一个数。本节手把手演算一次 3×3 卷积，给出参数量与乘加次数的通用公式，并用框架验证手工结果——这是全书一切形状与参数对账的原点。
一句行话开场
圈子里聊网络常说"这一层感受野多大""核开 3×3 还是 5×5"。听懂这句行话，就听懂了卷积层的全部：核（kernel）是探测器，感受野（receptive field）是探测器的视野，特征图（feature map）是探测器在全图上打分的成绩单。本节把这三样东西逐一拆开称重。
学习目标
阅读完本节，你应当能够：
- 在纸上完整演算 3×3 卷积核扫过 5×5 输入的九个输出值；
- 写出并使用两条公式：卷积层参数量与乘加次数；
- 解释多通道输入时核为什么是"三维"的，多核为什么堆出新通道；
- 指出深度学习里的"卷积"与数学教科书里"卷积"的差异。
一、卷积在算什么：滑窗与加权求和
想象一张 5×5 的灰度图，中间一列是亮线。我们想回答的问题是：每个位置附近有没有"左暗右亮"的竖直边缘？做法是拿一个 3×3 的核，比如左列全为 -1、右列全为 1、中列为 0——它计算的正是"右邻减左邻"。核从左上角开始，每次覆盖 3×3 的小窗，把对应位置的数相乘再全部加起来，得到一个数，记在特征图上；然后向右滑一格，重复；扫完一行下滑一行。5×5 的输入、3×3 的窗，横向只能停 3 个位置、纵向也是 3 个，输出就是 3×3 的特征图。
import torch import torch.nn.functional as F x = torch.zeros(1, 1, 5, 5) x[0, 0, :, 2] = 1.0 # 第 2 列一条亮竖线 k = torch.tensor([[[[-1., 0., 1.], [-1., 0., 1.], [-1., 0., 1.]]]]) # 左右取差的竖直边缘核 y = F.conv2d(x, k) print(y[0, 0]) # tensor([[ 1., 0., -1.], # [ 1., 0., -1.], # [ 1., 0., -1.]])
逐格解释这份输出：亮线左边的窗口算出 +1（右邻亮、左邻暗），压着亮线的窗口正负相抵得 0，亮线右边的窗口是 -1（左邻亮、右邻暗）。一正一负夹着一个零，恰好在特征图上标出了边缘的位置与朝向——卷积没有魔法，它只是把一个提问（这里有没有某种模式）变成了一张评分图。真实网络里的核系数不由人手写，由训练学出来，但运算一字不差。
顺带澄清一个名不副实：数学卷积要求先把核旋转 180 度再滑动，深度学习框架里的"卷积"其实省略了翻转（术语叫互相关）。因为核系数是学出来的，翻不翻转只是把学到的系数换了个方向，不影响表达能力——行业里叫惯了，也就不必较真。
图 2-2 卷积核滑窗标注示意
二、多通道与多核：账目怎么算
真实图像是 RGB 三通道，核因此必须有同样的"厚度"：3×3 的核在彩色图上其实是 3×3×3，27 个系数同时覆盖三个通道的邻域，求和后输出一个数。这是一条容易忘的账：核的通道数永远等于输入通道数。
而一张特征图只回答一种提问。想知道"有没有竖直边缘、有没有水平边缘、有没有红色斑块"，就要多个核各自扫一遍。用 16 个核，得到 16 张特征图，摞起来正好是新一层输入的 16 个通道——输出通道数等于核的个数，这就是特征图厚度逐层变化的来源。
两条公式由此立起来，全册通用：
参数量 = 核高 × 核宽 × 输入通道 × 输出通道 + 输出通道（偏置） 乘加次数 = 输出通道 × 输出高 × 输出宽 × 核高 × 核宽 × 输入通道
import torch import torch.nn as nn conv = nn.Conv2d(3, 16, kernel_size=3) # 输入 3 通道，16 个 3×3 核，不填充 n_params = sum(p.numel() for p in conv.parameters()) print("参数量:", n_params) # 448 = 3×3×3×16 + 16 x = torch.randn(1, 3, 32, 32) out = conv(x) print("输出形状:", tuple(out.shape)) # (1, 16, 30, 30) 32−3+1=30 macs = 16 * 30 * 30 * 3 * 3 * 3 print("乘加次数:", macs) # 388800
给这两条账一个体感：仅这一层，38.9 万次乘加就把一张小图换成了 16 张评分图；层数加深、通道翻倍后，乘加量按核高×核宽×输入通道×输出通道的乘积猛涨——第三章对比 VGG 与 MobileNet 的省算力之争，账本用的正是这条公式。
三、工程要点：核尺寸的选择直觉
- 3×3 是默认答案：同样 27 个系数的预算下，两层 3×3 串联的视野等于一层 5×5，还多了一次非线性；参数还更省（详见 3.3 节 VGG 的账目）；
- 大核并未绝迹：输入分辨率很高、目标纹理很大的场景（如遥感、医学影像），首层用 7×7 甚至更大的核反而高效；
- 偏置可省：卷积后若紧跟批归一化（4.5 节），偏置的作用会被归一化吸收，不少实现干脆设 bias=False。
⚠️ 常见坑：手算形状时忘了核的"厚度"。 Conv2d(3, 16, 3) 的单个核是 3×3×3 而不是 3×3，参数量差 3 倍——对账对不上时，第一个该检查的就是通道维。
巡检记录
- 一次卷积 = 一个提问：核是提问的模板，特征图是模板在全图的打分，输出尺寸只由滑窗能停几个位置决定；
- 两条公式：参数量看"一个核多重 × 几个核"，乘加次数再乘上"停多少个位置"，本节算得 448 参数、38.9 万次乘加；
- 厚度守恒：核通道数 = 输入通道数，输出通道数 = 核个数，层与层之间的形状由此衔接；
- 互相关之辨：框架的"卷积"不做核翻转，这是工程惯例而非数学疏漏。
特征图的尺寸由滑窗决定，而滑窗的节奏有三个旋钮可以调。下一节把核尺寸、步幅、填充拆开，给出那条全书出场率最高的输出尺寸公式。