2.5 加法 vs 乘法模型

2.5 加法 vs 乘法模型：什么时候用哪种

本节摘要：当季节性或残差的幅度随时间序列水平变化时，加法模型会失真。本节用一段航空乘客数据演示"乘法季节性"现象，并给出从业务直觉到模型选择的决策表。

读完你能做什么

阅读完本节，你应当能够：

1. 区分加法模型和乘法模型的数学形式与适用场景。
2. 用视觉特征判断"季节性幅度是否随水平放大"。
3. 通过 np.log 变换把乘法模型转化为加法模型。

本节回到"结构"问题：四类成分之间到底应该是相加还是相乘？读完后你掌握"对数变换把乘法变加法"这一招，对 80% 业务量类数据都有效。

一、两种模型的数学形式

加法模型假设四类成分独立相加：

y(t) = T(t) + S(t) + C(t) + ε(t)
​

乘法模型假设相乘：

y(t) = T(t) × S(t) × C(t) × ε(t)
​

实际业务里"完全独立相加"和"完全相乘"都是理想化。常见的是混合：趋势独立、季节性随水平缩放、周期独立。乘法季节性是最常被讨论的混合情况：

y(t) = T(t) + T(t) × S(t) + ε(t) = T(t) × (1 + S(t)) + ε(t)
​

也就是说季节性的"幅度"和当前水平 T(t) 成正比。

二、航空乘客数据集：经典的乘法季节性案例

国际航空乘客数据集（Box & Jenkins 经典案例）几乎被所有教科书用来演示乘法季节性。我们用 statsmodels 自带的版本做演示：

import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.datasets import airline

# 加载航空乘客数据（144 个月，1949–1960）
data = airline.load_pandas().data
data["Month"] = pd.to_datetime(data["Month"])
data = data.set_index("Month")
y = data["AirPassengers"]   # 单位：千人

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 6))
axes[0].plot(y.index, y.values)
axes[0].set_title("原始序列：水平 + 季节性幅度都在增长")
axes[1].plot(y.index, y.values / y.rolling(12).mean())  # 季节性幅度 / 趋势
axes[1].set_title("季节性幅度（除以 12 月滚动均值）")
plt.tight_layout()
​

第一张图：年峰值（7、8 月）和谷值（11、2 月）之间的差距随着年份增长——1950 年的峰谷差大约 50 千人，1960 年扩大到 250 千人。这是乘法季节性的典型视觉特征。

第二张图：把每个月的值除以"近 12 个月均值"消除水平影响。比率序列的振幅如果近似稳定在 ±20%，说明季节性幅度与水平成正比 → 乘法模型；如果比率序列的振幅随时间缩小 → 加法模型更合适。

三、加法 vs 乘法的工程判断

经验法则：业务量类指标（销量、用户、流量）通常是乘法；物理量类指标（温度、压力、占用率）通常是加法。但也有反例——比如某行业产能利用率可能既是乘法（百分比随总量放大）又近似加法（百分比天然在 0–100 之间），需要结合视觉判断。

四、对数变换：把乘法变加法

工程上有个一劳永逸的技巧：对原始序列取对数，乘法季节性就变成加法季节性。数学上：

log(y) = log(T) + log(S) + log(ε)
​

对航空乘客序列：

import numpy as np
log_y = np.log(y)
# 现在 log_y 的季节性幅度是常数（与水平无关），可以用加法分解
​

对数变换后，加法模型在变换后的空间里工作；预测时再 np.exp 反变换回来。这是为什么 statsmodels 的指数平滑族、Holt-Winters 都默认支持"乘法季节性"参数——本质就是内部对数化。

⚠️ 常见坑：对数变换对零值和负值无效。如果你的序列有 0 值，需要先 log1p(y) 或对零值做特殊处理（销量为 0 的日子，可能本来就该被剔除或单独标记）。

五、决策流程

一个简洁的决策流程：

六、回到工程实操

选错了模型会有什么后果？

• 选加法但应该是乘法：残差方差随时间放大，模型的预测区间在高峰时段显著偏窄，错过不确定性。
• 选乘法但应该是加法：模型把"小季节性"放得过大，对低水平时段给出过激进的预测。

最稳妥的做法是先对数变换，让乘法变加法；对数空间下用加法模型训练、预测，再反变换回原尺度。这一招对 80% 的业务量类数据都有效。

本节要点回顾

• 加法 vs 乘法：本质是"季节性幅度是否随水平变化"。
• 视觉判断：画"季节性幅度 / 滚动均值"序列，振幅稳定 → 加法；振幅随水平放大 → 乘法。
• 对数变换技巧：log(y) 把乘法变加法，statsmodels 的乘法季节性模型内部就在做这件事。
• 决策流程：是否存在季节性 → 视觉判断幅度是否随水平变化 → 选加法或乘法 / 是否取对数。
• 下一章线索：第三章开始专攻第一个嫌疑人——趋势。我们会从"线性/指数/S 形"三种形态，走到"如何把趋势从数据中剥离"的工程实现。

侦探笔记：选加法还是乘法，看量级变化

判断用加法还是乘法分解，最快的方法是看"季节性波动的振幅是否随趋势同步放大"。

• 振幅不随趋势变化 → 加法模型：Y = T + S + C + R
• 振幅随趋势线性放大 → 乘法模型：Y = T * S * C * R（取对数后等价于加法）
• 振幅随趋势指数放大 → 也用乘法，但要先取对数

工程建议

99% 的业务数据，加法模型就够用。乘法模型在两类场景下必用：一是销量随价格指数同比放大（电商旺季 vs 淡季），二是物理量（如光强、辐射）随基线变化。盲目用乘法模型会导致对数变换后出现负值（如果原序列有 0），得不偿失。