3.2 趋势的识别方法

3.2 趋势的识别方法：移动平均、LOESS、回归

本节摘要：识别趋势有三种主流工具——简单移动平均（SMA）、LOESS 局部加权回归、参数回归（线性/多项式）。本节对比三种工具的稳健性、对异常值的容忍度、对窗口的敏感性，并用一段合成数据演示差异。

学习目标速览

阅读完本节，你应当能够：

1. 用 SMA、LOESS、参数回归三种方法各自估计一段含噪声数据的趋势。
2. 解释三种方法在"窗口/带宽/多项式阶数"超参选择上的工程取舍。
3. 在含异常值的真实场景里选对工具（LOESS > 移动平均 > 普通回归）。

本节进入"识别"环节：用一段含异常点的合成数据对比三种工具的稳健性，并教你用 Ljung-Box 检验帮选窗口/带宽。

一、三种工具的定位

二、用一段合成数据演示三种方法

下面这段代码用 statsmodels 和 scipy 演示同一段含噪数据在三种方法下的趋势估计：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.nonparametric.smoothers_lowess import lowess

# 合成：S 形趋势 + 高斯噪声 + 2 个异常点
rng = np.random.default_rng(7)
n = 200
t = np.arange(n)
trend_true = 1000 / (1 + np.exp(-0.05 * (t - 100)))
y = trend_true + rng.normal(0, 15, n)
y[40] = 2000      # 注入异常
y[150] = -500     # 注入异常
s = pd.Series(y, index=pd.date_range("2024-01-01", periods=n))

# 方法 1：简单移动平均（中心化，窗口 15）
s_sma = s.rolling(window=15, center=True, min_periods=1).mean()

# 方法 2：LOESS 局部加权回归（带宽 0.2 = 用 20% 的局部数据）
loess_fit = lowess(s.values, np.arange(n), frac=0.2, it=3, return_sorted=False)
s_loess = pd.Series(loess_fit, index=s.index)

# 方法 3：参数回归（三阶多项式）
coef = np.polyfit(t, y, deg=3)
s_poly = pd.Series(np.polyval(coef, t), index=s.index)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4))
ax.plot(s.index, s.values, ".", alpha=0.4, label="原始")
ax.plot(s.index, trend_true, "k--", label="真实趋势")
ax.plot(s.index, s_sma, label="SMA(15)")
ax.plot(s.index, s_loess, label="LOESS")
ax.plot(s.index, s_poly, label="多项式(deg=3)")
ax.legend()
plt.tight_layout()
​

从图上可以看到三种方法对异常值的反应：

• SMA(15)：异常值被窗口平均"压扁"了 1/15，影响有限但整体趋势被异常点拉偏。
• LOESS：局部加权的方式对异常值最鲁棒——异常点只影响它的局部窗口，不会污染远端。
• 多项式回归：被异常点强烈干扰，拟合曲线在异常值附近明显偏出。

💡 关键直觉：异常值多时优先 LOESS，异常值少且解释性优先时选参数回归。在工业界 LOESS 是 STL 分解的核心组件，被 statsmodels 的 seasonal_decompose(..., model="additive") 默认采用。

三、窗口与带宽的工程取舍

三种方法都涉及"看多远的过去"——SMA 的窗口、LOESS 的带宽、参数回归的多项式阶数。这个超参没有银弹，但有经验法则：

• 窗口 / 带宽太小：趋势估计有噪声，跟原始序列几乎一样。
• 窗口 / 带宽太大：趋势估计过于平滑，对突变反应迟钝。
• 经验起点：日数据从 7 或 14 开始；月度数据从 6 或 12 开始；分钟级数据从 60 或 120 开始。然后看残差：如果残差还有"低频结构"在 ACF 上显著，说明窗口/带宽该加大。

# 用 Ljung-Box 检验帮窗口选择
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose

for window in [7, 14, 30, 60]:
    decomp = seasonal_decompose(s, model="additive", period=window, extrapolate_trend="freq")
    resid = decomp.resid.dropna()
    p = acorr_ljungbox(resid, lags=[10], return_df=True)["lb_pvalue"].iloc[0]
    print(f"period={window}, lag=10 的残差 Ljung-Box p 值 = {p:.3f}")
# 选 p 值最大的那个 period：残差最白，窗口最合适
​

四、一个工程小坑：边界的 LOESS

LOESS 在序列两端的"边界"会变窄——因为窗口往左或往右没有足够邻居。statsmodels 的 lowess 默认会用 return_sorted=True 返回的拟合在外侧偏短，业务上需要的话可以加 it=3（迭代 3 次稳健拟合）来减少异常值对边界的影响。

五、把趋势估计和业务对齐

最后一条容易忽略的原则：趋势估计的"窗口/带宽"应当与业务关注周期对齐。

• 你做"季度销售预测" → 趋势估计用 3–6 个月窗口。
• 你做"下一年采购计划" → 趋势估计用 12–24 个月窗口。
• 你做"小时级运维" → 趋势估计用 1–3 小时窗口。

不是技术问题，是问题对齐问题。

本节要点回顾

• 三种工具：SMA、LOESS、参数回归，依次对异常值的鲁棒性更好、对解释性更弱。
• 窗口/带宽经验：日数据从 7/14 开始，月度从 6/12 开始；用 Ljung-Box 检验残差帮选。
• 工程默认：STL 分解（基于 LOESS）对业务数据最稳。
• 业务对齐：窗口大小要跟业务关注周期匹配，不是越大越好。
• 下一节线索：3.3 把识别出的趋势"剥掉"——差分与去趋势的工程实现，给 ARIMA 等下游方法铺路。

图：移动平均的平滑效果对比