3.3 趋势的去除与平稳化

3.3 趋势的去除与平稳化：差分

本节摘要：去趋势是把估计出的趋势"减掉"，差分则是让序列逐项相减。两者都能让非平稳序列变得平稳，是 ARIMA 等下游方法的前提。本节给出"先减后差"还是"先差后减"的工程取舍，并演示 ADF 检验如何确认序列已经平稳。

学习目标速览

阅读完本节，你应当能够：

1. 区分"去趋势（detrend）"和"差分（differencing）"两种平稳化方法。
2. 写出 df.shift(1) 与 df.diff(1) 的关系，并解释 lag-k 差分的几何含义。
3. 用 ADF 检验判断序列是否平稳，并解释 p 值的工程解读。

本节把 3.2 估计出的趋势"剥掉"——但用差分而不是减法，给 ARIMA 等下游方法铺路。读完后你掌握"ADF 检验帮选差分阶数"的工程流程。

一、为什么要"剥掉"趋势

ARIMA、Prophet 等很多下游方法对输入有一个隐含假设：序列是平稳的（均值和方差随时间不变）。带趋势的序列显然不平稳——均值随时间漂移。如果不平稳化，模型的"拟合优度"会被趋势主导，看不出真正的预测能力。

平稳化是"为下游方法铺路"。两条主流路径：

• 去趋势（detrend）：先估计出趋势 T(t)，然后计算 y'(t) = y(t) - T(t)。结果序列不再有趋势，但仍可能带季节性。
• 差分（differencing）：直接计算 Δy(t) = y(t) - y(t-1)，不去估计趋势，靠"逐项相减"消除任何非平稳结构。

💡 关键直觉：差分不需要先估计趋势——它对所有非平稳（趋势、周期、漂移）一视同仁。这是为什么 ARIMA 的 d 阶差分被广泛使用：它不需要事先知道趋势是什么形态。

二、差分的工程实现

import pandas as pd
import numpy as np

# 一阶差分：y(t) - y(t-1)
df = pd.DataFrame({"y": [10, 12, 13, 16, 20, 18, 22, 25]})
df["diff1"] = df["y"].diff(1)        # 一阶差分
df["diff2"] = df["y"].diff(1).diff(1)  # 二阶差分（在 diff1 上再做一阶）

print(df)
​

直观理解：

• 一阶差分消除线性趋势。线性 y = a + bt 差分后变常数 b。
• 二阶差分消除二次趋势。二次 y = a + bt + ct² 差分两次后变常数 2c。
• 季节差分消除季节性。y(t) - y(t-m)（m 是周期长度）消除固定周期模式。

# 季节差分（m=7：周季节性）
df["diff7"] = df["y"].diff(7)
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三、先减后差 vs 先差后减

一个常见困惑：先估计趋势、减掉、再做差，还是先做差、再估计趋势？

工程上更推荐先差后减：

# 推荐写法：先用一阶差分让序列平稳，再估计剩余趋势
y_diff = s.diff(1).dropna()
# 此时 y_diff 的趋势被消除，可以做 ARIMA 拟合
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
model = ARIMA(s, order=(1, 1, 1)).fit()
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⚠️ 常见坑：过度差分。二阶差分在原本已经平稳的序列上做会引入虚假自相关（差分运算本身就是一种滤波器）。一个经验法则：差分后如果方差比原序列更大，往往是过度差分；回到上一阶差分。

四、用 ADF 检验确认"已经平稳"

差分几次才够？最稳的办法是 ADF 检验（Augmented Dickey-Fuller Test）：

• 原假设 H₀：序列存在单位根（非平稳）。
• 如果 p 值 < 0.05，拒绝 H₀ → 序列平稳。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

def adf_report(y, name="原序列"):
    stat, p, *_ = adfuller(y, autolag="AIC")
    print(f"{name}: ADF stat = {stat:.3f}, p = {p:.4f}", "→", "平稳" if p < 0.05 else "非平稳")

adf_report(s, "原序列（含趋势）")
adf_report(s.diff(1).dropna(), "一阶差分后")
adf_report(s.diff(1).diff(1).dropna(), "二阶差分后")
# 经验：通常一阶差分就够；过多阶差分会破坏信息
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五、季节差分单独拎出来

对于带强季节性的序列（如月度数据有 12 个月周期），普通差分可能不够。季节差分 y(t) - y(t-12) 在月度数据上常常能让序列平稳化。但要注意：

• 季节差分后仍可能带趋势，需要再叠加普通差分：y(t) - y(t-1) - y(t-12) + y(t-13)。
• 这就是 SARIMA 中 (D=1, m=12) 的来源。

六、回到业务：差分后预测怎么做

差分后的预测需要"还原"为原尺度：

# ARIMA(1,1,1) 模型
model = ARIMA(s, order=(1, 1, 1)).fit()
forecast = model.forecast(steps=12)   # forecast 自动还原差分，给出原尺度预测
​

statsmodels 的 forecast / get_forecast 会自动还原差分；如果你用底层实现手动算，记得把差分结果 cumsum 回去再加回最后一个观测值。

本节要点回顾

• 去趋势 vs 差分：去趋势需要先估计趋势，差分直接逐项相减、不需要。
• 工程推荐：先差分后估计，简单稳定；ARIMA 的 d 阶差分是这一思想的标准实现。
• 差分阶数选择：ADF 检验。一般 1 阶够；过多阶会破坏信息。
• 季节差分：y(t) - y(t-m)，常用于月度或季度数据；可以和普通差分叠加使用。
• 下一章线索：4 章进入"季节性"专项——比趋势更精细、需要更长历史的周期信号。