4.2 ACF 与周期图：识别周期

4.2 ACF 与周期图：识别周期

本节摘要：自相关函数（ACF）和周期图是识别季节性周期的两把标尺。ACF 在时间域告诉你"相隔 k 天的两个值有多相关"；周期图在频率域告诉你"哪个频率的能量最强"。本节深入两者的数学原理，并用合成数据演示"周期峰有多显著才算强"。

本节学习地图

阅读完本节，你应当能够：

1. 写出 ACF 的数学定义，并解释为什么季节性会让 ACF 在固定 lag 处出现峰。
2. 解释周期图的横轴（频率）含义，并能根据最强峰反推周期。
3. 给出 ACF 周期峰"显著"的工程判据：|ACF(lag=k)| > 2/√n。

本节是双路对照的第二路：ACF + 周期图（看周期长度）。读完后你能从 lag=7/12/24 处的局部峰确认季节性的存在，并用显著性判据避免把噪声当信号。

一、ACF 的数学定义

自相关函数（Autocorrelation Function, ACF）定义为：

ρ(k) = Cov[y(t), y(t+k)] / Var[y(t)]
​

直观理解：把序列平移 k 个时间点再与原序列做相关。ρ(0) = 1（自己与自己完全相关），ρ(k) 随 k 增大应当衰减。

如果序列有季节性（周期 m），那么**ρ(m) 通常显著大于 0**——因为相隔一个周期的两个值在季节性模式下有强相关。ρ(2m)、ρ(3m) 也会出现峰，因为相隔两个周期、三个周期的值也强相关。

二、用 statsmodels 算 ACF

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import acf
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf

# 构造 200 天数据：周期 7 + 趋势 + 噪声
rng = np.random.default_rng(11)
n = 200
t = np.arange(n)
trend = 0.1 * t
weekly = 5 * np.sin(2 * np.pi * t / 7)
y = trend + weekly + rng.normal(0, 1, n)
s = pd.Series(y, index=pd.date_range("2024-01-01", periods=n))

# 算 ACF（nlags=30 看 lag 1 到 30）
acf_vals = acf(s, nlags=30, fft=True)

# 显著性的 95% 置信区间近似为 ±1.96/√n
threshold = 1.96 / np.sqrt(n)
print(f"显著性阈值 ±{threshold:.3f}")

# 关键：lag=7、14、21 处的 ACF 值
for lag in [6, 7, 8, 13, 14, 15, 20, 21, 22]:
    flag = "✓" if abs(acf_vals[lag]) > threshold else "·"
    print(f"lag={lag:3d}  ACF={acf_vals[lag]:+.3f}  {flag}")
# 预期：lag=7、14、21 处的 ACF 显著大于阈值
​

经验法则：|ρ(k)| > 2/√n 就算显著（约 95% 置信区间）。如果 |ρ(m)| > 2/√n 且 m 是业务周期长度，则季节性存在。

三、ACF 衰减 vs ACF 周期峰

ACF 的形状透露两类信息：

• 指数衰减 / 拖尾：ACF 整体随 lag 增大慢慢衰减——这是趋势或 AR 过程的信号。
• 周期峰：ACF 在固定 lag 处出现局部峰值（且该 lag 是业务周期长度的倍数）——这是季节性的信号。

两种信号可以同时存在。例如，一个有线性趋势 + 周季节性的序列，ACF 会先随 lag 增大快速衰减（趋势效应），然后在 lag=7、14、21 等位置出现周期峰。判读时关注周期峰是否"突出"于整体衰减趋势之上。

四、周期图的数学原理

周期图（periodogram）把序列拆成不同频率的复指数波，统计每个频率的能量：

P(f) = (1/n) |Σ y(t) e^(-i 2π f t)|²
​

直观理解：在频率 f 处，序列的"信号强度"。最强的峰对应"主导周期"。

from scipy.signal import periodogram
freqs, power = periodogram(s.values, fs=1.0)  # fs=1 每天 1 个采样点
# 周期 = 1 / 频率
periods = 1 / freqs[1:]      # 排除 f=0
power_no_dc = power[1:]
# 找最强峰
top_idx = np.argsort(power_no_dc)[::-1][:5]
for i in top_idx:
    print(f"周期 {periods[i]:.2f} 天  功率 {power_no_dc[i]:.2f}")
# 预期：周期 ≈ 7 天的功率最高
​

五、ACF 周期峰 vs 周期图：互补

工程上两个一起画最稳：ACF 确认"lag=7、14 处显著"，周期图确认"频率 1/7 处功率最高"。两者一致时，季节性才算"确认"。

六、置信带与显著性

statsmodels 的 plot_acf 会自动画 95% 置信带（蓝色阴影区域）。如果某个 lag 的 ACF 超出置信带 → 显著。

import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4))
plot_acf(s, lags=30, ax=ax, alpha=0.05)  # alpha=0.05 对应 95% 置信带
plt.tight_layout()
​

如果只有 lag=0 之外、零星几个 lag 超出置信带，且不在业务周期位置 → 多半是噪声。如果 lag=7、14、21 都超出 → 强季节性。

七、一个工程案例：电商周季节性的判读

某电商 90 天日数据，ACF 显示：

• lag=1: 0.42（短期自相关）
• lag=2 ~ 6: 衰减
• lag=7: 0.65（远超置信带）
• lag=14: 0.41
• lag=21: 0.28

判读：lag=7、14、21 三个峰依次递减，强周季节性。后续建模应当用 SARIMA(?, ?, ?)(?, ?, ?, 7) 或 Prophet。

本节要点回顾

• ACF 数学定义：相隔 k 期的相关系数，ρ(m) > 0 是季节性的关键证据。
• 显著性判据：|ρ(k)| > 2/√n（约 95% 置信区间）。
• 周期图：频率域视角，最强峰对应主导周期。
• 两者互补：ACF 看 lag 轴，周期图看频率轴；一起画最稳。
• 工程判读：周期峰应当突出于整体衰减趋势之上，且在业务周期位置。
• 下一节线索：4.3 进入"季节性调整"——把季节性从数据里"剥掉"用于下游分析与同比对比。

图：周期图原理示意