4.1 季节性的视觉与统计特征

4.1 季节性的视觉与统计特征

本节摘要：季节性有两种识别方式——视觉的（子序列图）和统计的（ACF / 周期图）。本节用真实形态的日数据演示两种方法，让读者掌握"既能看到形状、又能用统计量确认"的双重保险。

本节学习地图

阅读完本节，你应当能够：

1. 画出季节性子序列图，把"按周/按月/按小时"的模式直观化。
2. 解释周期图（periodogram）的横轴 / 纵轴含义，并用最强的频率点反推周期长度。
3. 区分"日季节性"和"周季节性"在视觉与统计上的不同表现。

本节是季节性"双路对照"的第一路：子序列图（看形状）。读完后你能用子序列图把"周一到周日"或"1 月到 12 月"的模式画清楚，并用热图判断季节性是否稳定。

一、子序列图：把周期模式画清楚

2.2 节已经介绍过子序列图的画法。回到这段代码，做更精细的展示：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(3)
n = 365 * 2
trend = np.linspace(100, 200, n)
weekly = np.tile([0, -10, -10, -5, 5, 25, 30], n // 7 + 1)[:n]
y = trend + weekly + rng.normal(0, 3, n)
s = pd.Series(y, index=pd.date_range("2023-01-02", periods=n))

# 把每个观测分配到对应的"周几 + 一年中的第几周"
df = s.to_frame("y")
df["weekday"] = df.index.dayofweek
df["week_of_year"] = df.index.isocalendar().week

# 季节性子序列图：每行是一个星期几，每列是不同周
import seaborn as sns
pivot = df.pivot_table(index="week_of_year", columns="weekday", values="y")
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
sns.heatmap(pivot, cmap="viridis", ax=ax)
ax.set_title("季节性子序列热图：纵轴=第几周，横轴=星期几，颜色=销量")
plt.tight_layout()
​

热图能直观展示"周一低、周末高"是否在每一年都稳定。如果热图的横列（不同周）颜色一致，说明季节性是稳定的；如果颜色在不同周之间变化大，说明季节性受外部因素调节（软季节性）。

二、周期图：频率域视角

子序列图是时间域的。**周期图（periodogram）**是频率域的——它把序列拆成不同频率的正弦/余弦波，告诉你"哪个频率的能量最强"。

from scipy.signal import periodogram

# 估计功率谱
freqs, power = periodogram(s.values, fs=1.0)  # fs=1 表示每天 1 个采样点
# 找能量最大的几个频率
top_idx = np.argsort(power)[::-1][:5]
for i in top_idx:
    if freqs[i] > 0:
        period = 1 / freqs[i]
        print(f"频率 {freqs[i]:.4f} (周期 {period:.2f} 天)  功率 {power[i]:.2f}")
# 预期：周期 7 天的频率功率最大
​

periodogram 的横轴是频率（每天几个周期），纵轴是功率（能量）。最强的峰应该出现在 1/7 ≈ 0.143 频率处，对应"7 天周期"。

💡 关键直觉：子序列图回答"形状长什么样"，周期图回答"周期有多长"。两者结合：先用周期图确认周期长度，再用子序列图看清"那个周期里值怎么变化"。

三、视觉与统计的"对照诊断"

四、真实数据：网页流量案例

我们换一个更复杂的真实场景——某网站的小时级流量。它同时有日季节性（24 小时周期）和周季节性（7 天周期）：

# 假设有 28 天 × 24 小时 = 672 个观测
n = 28 * 24
rng = np.random.default_rng(0)
t = np.arange(n)
daily = 50 * np.sin(2 * np.pi * t / 24 - 1)    # 日周期
weekly = 30 * np.sin(2 * np.pi * t / (24 * 7) - 0.5)  # 周周期
y = 1000 + daily + weekly + rng.normal(0, 10, n)
s = pd.Series(y, index=pd.date_range("2024-01-01", periods=n, freq="H"))

freqs, power = periodogram(s.values, fs=1.0)
top_idx = np.argsort(power)[::-1][:3]
for i in top_idx:
    if freqs[i] > 0:
        period = 1 / freqs[i]
        print(f"周期 {period:.2f} 小时  功率 {power[i]:.2f}")
# 预期：周期 24 小时最强、168 小时（7 天）次强
​

这是一个典型"双重季节性"场景。处理这种序列，SARIMA 显得力不从心（只能处理一个季节周期）；更合适的是 MSTL（Multiple STL）或 Prophet 的多 Fourier 项。第七章会展开。

五、一个常见反例：日数据里的"假"周季节性

如果你的数据是工作日开盘价、且数据只包含工作日，那么"7 天周期"是假的——相邻两个数据点之间没有"周末"。这种情况下：

• ACF 在 lag=5（工作日长度）处会出现峰，而不是 lag=7。
• 周期图在频率 1/5 处峰最强。
• 用 SARIMA 建模时应当用 m=5，而不是 m=7。

这是一个工程上极容易犯错的点——机械地套"7 天周季节性"会让模型把周末当周期来学，结果自然离谱。

本节要点回顾

• 子序列图 vs 周期图：前者看形状，后者看周期长度。
• 诊断表：视觉和统计两路对照，确认季节性的"强度 + 稳定性"。
• 多重季节性：日 + 周同时存在的场景下，MSTL / Prophet 多 Fourier 项更合适。
• 工程坑：工作日序列的"7 天周期"是错的，应该是 5。
• 下一节线索：4.2 进一步深入 ACF 和周期图的统计原理，掌握"周期峰有多显著才算强"的判读。