6.3 ACF / PACF：统计量阅读

6.3 ACF / PACF：统计量阅读

本节摘要：ACF 和 PACF 是 ARIMA 阶数选择的"罗塞塔石碑"。本节教你怎么从 ACF / PACF 图的"截尾"或"拖尾"模式，反推 p、d、q 的合适值，并演示一个完整 ARIMA(p,d,q) 拟合流程。

先看目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 写出 ACF 与 PACF 的数学定义与差异。
2. 识别 ACF 截尾 vs 拖尾、PACF 截尾 vs 拖尾四种模式。
3. 用 pmdarima.auto_arima 或手工根据 ACF / PACF 选定 p、q。

本节把 4.2 讲的 ACF 进一步延伸到 PACF，给出 ARIMA 阶数选择的统计依据。读完后你能从 ACF / PACF 图的"截尾 / 拖尾"反推 p、d、q 的合适值。

一、ACF vs PACF：一个简明对比

ACF（自相关函数）：度量 y(t) 和 y(t+k) 的总相关。包含了中间 lag 的"传递影响"——比如 lag=3 的 ACF 包含 lag=1、lag=2 的间接影响。

PACF（偏自相关函数）：在排除中间 lag 的影响后，y(t) 和 y(t+k) 的"纯"相关。衡量"如果中间 lag 都被解释掉，y(t-k) 对 y(t) 还有多少独立解释力"。

直观上：

• ACF 告诉你"过去所有值对现在的影响链条有多长"。
• PACF 告诉你"真正独立有用的过去值有几个"。

二、四种典型模式

"截尾"指 lag 大于某值后，系数突然落到置信区间内；"拖尾"指系数连续衰减而不突然归零。

三、实战判读：合成 AR(2) 序列

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(0)
# AR(2): y(t) = 0.6 y(t-1) - 0.3 y(t-2) + ε
n = 500
y = np.zeros(n)
eps = rng.normal(0, 1, n)
for t in range(2, n):
    y[t] = 0.6 * y[t-1] - 0.3 * y[t-2] + eps[t]

s = pd.Series(y)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 3.5))
plot_acf(s, lags=20, ax=axes[0])
plot_pacf(s, lags=20, ax=axes[1], method="ywm")
plt.tight_layout()
​

预期结果：

• ACF：拖尾（指数衰减 + 正弦振荡），不会突然归零。
• PACF：在 lag=2 之后落到置信区间（截尾于 lag=2）。

按表格判读：AR(2) 是合适模型。

四、季节 lag 的判读

如果序列有 m=12 的季节性：

• ACF 在 lag=12、24、36…会有显著峰。
• PACF 在 lag=12、24、36…通常也是峰或接近显著。

这告诉模型需要"季节项"：SARIMA(p,d,q)(P,D,Q,12) 中的 P、Q。

五、auto_arima：工程上更稳的替代

手工看 ACF / PACF 在实战中容易判错（特别是 lag 边界）。pmdarima.auto_arima 通过网格搜索自动选 p、d、q：

import pmdarima as pm

auto_model = pm.auto_arima(
    s.values,
    start_p=0, start_q=0,
    max_p=5, max_q=5,
    seasonal=True, m=12,        # 月度季节性
    d=None, D=None,             # 自动选差分阶数
    trace=True,                 # 打印搜索过程
    error_action="ignore",
    suppress_warnings=True,
    stepwise=True               # 启发式搜索，比全网格快
)
print(auto_model.summary())
​

auto_arima 输出最优 (p,d,q)(P,D,Q,m) 组合。业务上这是一个"够用"的起点，但仍然建议人工 review——auto_arima 选出的模型可能在残差诊断上不如手工选的。

六、几个常见的判读错误

1. ACF 衰减非常慢就当不平稳：可能只是序列带强趋势，先差分再判读。
2. PACF 在 lag=1 显著就当 AR(1)：还要看 lag=2、3 是不是接近显著，决定是 AR(1) 还是 AR(2)。
3. 季节 lag 的峰不显著就当无季节性：可能是季节性弱或者采样频率不对。检查业务上是否真有季节性。
4. auto_arima 给的模型当真理：它的目标函数是 AIC，不是预测精度。要在测试集上验证。

七、完整流程

八、一个 SARIMA 选型案例

某电商月度销量，48 个月数据：

• 强线性趋势 → d=1。
• 12 个月季节性 → m=12, D=1。
• ACF 在 lag=1、2 显著后衰减 → q 选 1 或 2。
• PACF 在 lag=1 显著后衰减 → p 选 1。
• 季节 lag（12、24）处 ACF 显著 → Q 选 1。
• 季节 lag 处 PACF 接近显著 → P 选 0 或 1。

候选模型：SARIMA(1,1,1)(1,1,1,12) 或 SARIMA(1,1,2)(0,1,1,12)。两个都跑，对比 AIC 和测试集 MAE 选优。

本节要点回顾

• ACF vs PACF：总相关 vs 排除中间影响后的纯相关。
• 四种模式：ACF 截尾 + PACF 拖尾 → MA；ACF 拖尾 + PACF 截尾 → AR；都拖尾 → ARMA。
• 季节项：ACF/PACF 在 lag=m、2m、3m 处的峰指示季节项 P、Q。
• auto_arima：工程上更稳的起点，但仍然需要人工 review + 测试集验证。
• 常见错误：差分不够就判读、PACF 显著就当 AR(1)、auto_arima 当真理。
• 下一节线索：6.4 介绍指数平滑族——SES、Holt、Holt-Winters，和 ARIMA 一起构成"经典时序模型"双雄。