6.5 ARIMA / SARIMA：模型族与适用场景

6.5 ARIMA / SARIMA：模型族与适用场景

本节摘要：ARIMA / SARIMA 是经典时序模型族的代表，统计学上基于自相关 + 平稳性推导。本节给出 ARIMA(p,d,q) 三参数的工程含义、SARIMA 的季节项扩展，并通过一段合成 ARIMA(1,1,1) 数据演示完整拟合 + 残差诊断流程。

学习目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 解释 ARIMA 中 p、d、q 三个参数各自代表什么。
2. 在 statsmodels 中拟合 ARIMA / SARIMA 模型并解读输出。
3. 用残差诊断（Ljung-Box、正态性）判断模型是否"够好"。

一、ARIMA 三参数的工程含义

ARIMA(p, d, q) 由三个参数决定：

• p（AR 阶数）：用过去 p 个值的线性组合预测现在。y(t) = c + φ₁ y(t-1) + ... + φₚ y(t-p) + ε。
• d（差分阶数）：让序列平稳化的差分次数。d=0 表示原序列已平稳；d=1 表示一阶差分；d=2 偶尔用于二阶趋势。
• q（MA 阶数）：用过去 q 个预测误差的线性组合修正现在。y(t) = c + ε(t) + θ₁ ε(t-1) + ... + θq ε(t-q)。

直观上：

• p 越大 → 模型越"记忆"过去。
• d 越大 → 趋势被剥得越深。
• q 越大 → 模型越"敏感"于最近的预测误差。

💡 关键直觉：p + q 应该不大。超过 5 阶基本都在过拟合。p、q 通常在 0–3 之间。

二、SARIMA：加季节项

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q,m) 在 ARIMA 基础上加了季节项：

• (P, D, Q) 是季节部分的阶数。
• m 是季节周期（7、12、24 等）。

季节部分的递推结构与 ARIMA 类似，只是"季节 lag"是 m 的倍数。

三、statsmodels 拟合 ARIMA

from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 合成 ARIMA(1,1,1) 序列
rng = np.random.default_rng(0)
n = 200
y = np.cumsum(rng.normal(0, 1, n)) + rng.normal(0, 0.5, n)
s = pd.Series(y, index=pd.date_range("2024-01-01", periods=n))

# 拟合 ARIMA(1,1,1)
model = ARIMA(s, order=(1, 1, 1)).fit()
print(model.summary())
​

model.summary() 输出关键信息：

• coef：参数估计值（AR 的 φ、MA 的 θ、constant）。
• std err / z / P>|z|：参数显著性检验。
• AIC / BIC：模型复杂度惩罚下的拟合优度。越低越好，但要在测试集上验证。
• Ljung-Box 检验：残差是否白噪声。
• Jarque-Bera 检验：残差是否正态。

四、季节 lag 的处理：SARIMA

对月度销量数据，季节周期 m=12：

model = ARIMA(s, order=(1, 1, 1), seasonal_order=(1, 1, 1, 12)).fit()
print(model.summary())
​

季节项的阶数 P、Q 通常 0 或 1——过多阶数容易过拟合。

五、残差诊断：模型"够好"的判据

拟合完模型后，必须做残差诊断。一个"够好"的模型应当让残差：

1. 白噪声：Ljung-Box 检验 p > 0.05（不拒绝白噪声假设）。
2. 正态：Jarque-Bera 检验 p > 0.05（残差近似正态）。
3. 同方差：残差方差随时间不变。
4. 无 ARCH 效应：残差平方无自相关（金融序列需要专门检查）。

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from statsmodels.stats.stattools import jarque_bera

resid = model.resid
# 1) 白噪声检验
lb = acorr_ljungbox(resid, lags=[10, 20], return_df=True)
print("Ljung-Box p:\n", lb)

# 2) 正态检验
jb_stat, jb_p, _, _ = jarque_bera(resid)
print(f"Jarque-Bera p = {jb_p:.4f}")

# 3) 残差图
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 3))
axes[0].plot(resid); axes[0].set_title("残差时序")
from statsmodels.graphics.gofplots import qqplot
qqplot(resid, line="45", fit=True, ax=axes[1])
plt.tight_layout()
​

如果 Ljung-Box 检验拒绝（p < 0.05）→ 模型没把信号剥干净，回 6.3 调阶。

六、预测与预测区间

# 未来 12 期预测 + 95% 置信区间
forecast = model.get_forecast(steps=12)
mean = forecast.predicted_mean
ci = forecast.conf_int(alpha=0.05)

# 画图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4))
ax.plot(s.index, s.values, label="历史")
mean_index = pd.date_range(s.index[-1], periods=12, freq=s.index.freq)
ax.plot(mean_index, mean.values, label="预测", color="red")
ax.fill_between(mean_index, ci.iloc[:, 0], ci.iloc[:, 1], alpha=0.3, color="red", label="95% 区间")
ax.legend()
​

预测区间宽度反映不确定性。长 horizon 的预测区间应当逐渐变宽——预测越远，不确定性越大。

七、ARIMA 的局限与替代

八、ARIMA 选型决策表

本节要点回顾

• ARIMA(p, d, q)：p 是 AR 阶数、d 是差分阶数、q 是 MA 阶数。
• SARIMA：加 (P, D, Q, m) 季节项。
• 残差诊断：Ljung-Box（白噪声）+ Jarque-Bera（正态）必须 PASS。
• 预测区间：horizon 越长，区间越宽。
• ARIMA 局限：多重季节、长周期、复杂外生变量场景下不够用；Prophet / 状态空间 / 神经网络是替代。
• 选型决策表：根据数据特征（季节性、趋势、外生变量、序列长度）选模型。
• 下一章线索：第七章进入"应用与高阶"——评估指标、预测区间、异常检测等工程内容。

图：ARIMA 模型族谱