3.1 GCN：基础办案套件

3.1 GCN：基础办案套件

本节摘要：图卷积网络（GCN）把一阶切比雪夫近似固化为标准件——每层执行"对称归一化邻接矩阵乘特征矩阵乘权重矩阵"，等价于按度数加权的邻域均值聚合。本节按案件背景、机制拆解、公式推导、代码实战、变体对比五段展开，给出 NumPy 手推与 PyG 实战代码，并盘点 SGC 等简化变体。

案件背景：引文网络上的半监督分类

委托来自学术数据库：论文之间的引用关系构成网络，只有少量论文带学科标签，要求给其余论文补标签。这桩案子的难点在于"标注稀缺而结构丰富"——直接训练分类器浪费了引用关系，手工设计特征又难以穷尽。GCN 的立项正是冲此而来：把卷积层直接架在引用图上，用少量标签的监督信号驱动多层邻域聚合，让"学科社区"的结构信息自动进入表示。案件的关键约束还有两条：模型必须对论文重编号不敏感，且要在中等规模的静态图上高效训练——这两条恰好框定了 GCN 的设计空间。GCN 在经典引文数据集上以极简的结构逼近甚至超越当年的专用模型，从此成为"拿到图数据先跑 GCN 基线"的行业惯例。

图：GCN 层叠——每层聚合一跳，层数决定感受野

机制拆解：归一化均值走访

GCN 的机制可以用一句话说尽：每层让每个节点的表示向"度数加权的邻居均值"看齐，再过一次可学习投影。拆开看有四个动作。加自环：邻接矩阵加上单位阵，节点把"自己"也列为走访对象，旧档案不至于被完全冲掉。度数求幂：算出度矩阵的二分之一次幂，左右各乘一次夹住邻接矩阵。对称归一：得到归一化邻接矩阵，任意两节点间的聚合权重由两端度数共同决定——度数高的邻居话语权被自动压低，避免了"枢纽节点淹没小节点"的失真。线性投影加激活：聚合结果乘可学习权重矩阵、过非线性。四个动作里只有权重矩阵是可学习的，其余全是确定性预处理——GCN 的参数量因此极小，小数据集也不容易过拟合。

公式推导：从一阶近似到传播式

推导的起点是第二章的一阶切比雪夫滤波器。切比雪夫网络把图卷积写成拉普拉斯多项式形式，取一阶截断（只看直接邻域）并令最大特征值尺度为固定值，传播式退化为归一化拉普拉斯相关的简单形式。GCN 论文再做了两步工程化简化：把两个本可独立学习的系数合并成单参数，再用"重归一化技巧"把自环直接加进邻接矩阵。最终每层的传播式为：新表示等于对称归一化邻接矩阵（含自环版本）乘当前表示乘权重矩阵，再过激活函数。用记号写出就是 H 上标 l 加一等于非线性作用于 Â 乘 H 上标 l 乘 W 上标 l，其中 Â 是加了自环的邻接矩阵经度矩阵负二分之一次幂左右夹乘的结果。

这条公式值得逐项读解。Â 与 H 相乘的含义是"按归一化权重汇总邻域"——第 i 行第 j 列的权重等于度数乘积平方根的倒数，分子上是连接指示。分母上两端度数都参与，体现了"话语权与自身规模和对方规模都相关"的对称衰减。乘 W 是把汇总结果投影到新空间，是唯一的可学习环节。半监督训练时，损失只计算带标签节点的交叉熵，未标注节点的表示通过层层聚合被标签信息"顺带"塑形——监督信号沿着边在图上扩散，这正是半监督设定的红利。

代码实战：NumPy 手推与 PyG 训练

先手推：不借助任何框架，把单层 GCN 前向算清楚，确认"对称归一化均值聚合"的数值行为。

import numpy as np
import networkx as nx

G = nx.Graph([(0,1),(0,2),(1,2),(2,3),(3,4)])
n = 5
A = nx.to_numpy_array(G, nodelist=range(n)) + np.eye(n)      # 加自环
D_half = np.diag(1.0 / np.sqrt(A.sum(axis=1)))               # 度矩阵负二分之一次幂
A_hat = D_half @ A @ D_half                                  # 对称归一化邻接矩阵
print("归一化权重（每行按结构分配）:\n", np.round(A_hat, 3))

rng = np.random.default_rng(5)
X = rng.normal(size=(n, 4))
W = rng.normal(size=(4, 3)) * 0.5
H = np.tanh(A_hat @ X @ W)                                   # 单层 GCN 前向
print("单层输出:\n", np.round(H, 3))
# 每个节点的输出＝自身与邻居的加权均值再投影；枢纽邻居（度数大）权重自动变小
print("行和（近似守恒）:", np.round(A_hat.sum(axis=1), 3))
​

再用 PyTorch Geometric 走完整训练：内置的空手道俱乐部数据集，两层 GCN 加 softmax，几十轮内即可把社区结构分开。

import torch
import torch.nn.functional as F
from torch_geometric.datasets import KarateClub
from torch_geometric.nn import GCNConv

dataset = KarateClub()
data = dataset[0]

class GCN(torch.nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.conv1 = GCNConv(dataset.num_features, 4)
        self.conv2 = GCNConv(4, dataset.num_classes)
    def forward(self, data):
        x, ei = data.x, data.edge_index
        return self.conv2(self.conv1(x, ei).relu(), ei)

model = GCN()
opt = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.1)
for epoch in range(60):
    opt.zero_grad()
    out = model(data)
    loss = F.cross_entropy(out[data.train_mask], data.y[data.train_mask])
    loss.backward(); opt.step()
    if epoch % 20 == 0:
        acc = (out.argmax(1) == data.y).float().mean()
        print(f"epoch {epoch:03d}  loss {loss:.4f}  acc {acc:.3f}")
# 仅用四个带标签节点的监督，两层 GCN 即可把全部成员按社区分开
​

训练日志里最值得注意的是收敛速度与少标签依赖：监督信号只有个位数节点，但经过两层聚合，社区边界已经在表示空间里成形。这是半监督图学习的典型红利，也是 GCN 成为默认基线的原因。

⚠️ 常见坑：把 GCN 直接用在有向图上。归一化公式假定对称邻接，有向图应先决定"入边聚合成还是出边聚合"，再按相应方向构造归一化矩阵，否则信息流向与业务语义错位。

变体对比：简化与加速

GCN 的直推口径与固定权重是它的阿喀琉斯之踵：权重只由度数决定、与节点内容无关，且经典实现偏爱静态图。下一件装备正是为解决"节点不断新增"而造——抽样讯问法 GraphSAGE。