6.1 传播动力学：SIR与SIS的田野笔记

6.1 传播动力学：SIR与SIS的田野笔记

摘要：传播动力学研究病原/信息/行为沿网络边的扩散。SIR（易感—感染—免疫）与 SIS（易感—感染—易感）两套规则从均匀混合人口搬到网络上后，结论剧变：异质网络的传播阈值系统性降低，无标度网络中阈值趋零——流行没有「安全强度」。本节给出网络版模型、阈值塌缩的推导直觉、免疫策略的三代演进，以及信息扩散与传染病模型的同构。本节在体系中的位置：放归野外的第一间实验室，直接兑付第 4、5 章的肥尾与渗流结论。

田野笔记的第一页：从大缸到渔网

经典流行病学把人口想象成一口搅拌均匀的大缸：任何人等概率接触任何人。传播强度超过阈值，疫情燎原；低于阈值，自然熄灭——阈值由平均接触数决定，这套「均匀混合」框架统治了流行病学大半个世纪。网络科学的加入方式简单粗暴：把大缸换成渔网——接触不是随机的，是沿着边走的。谁的边多，谁的风险敞口就大；边怎么分布，疫情的命运就怎么改写。

两套基础规则先登记。SIR：节点分三仓——易感、感染、免疫（康复后不再感染）。感染节点每时间步以概率把病原传给每个易感邻居，自身以概率康复并获得永久免疫。适合流感类「病愈即免疫」的急性感染，也适合信息扩散里「看过就不再转发」的一次性传播。SIS：去掉免疫仓，康复直接回到易感——适合此类感染与「 rumor 反复感染」的注意力场景。两套规则的分歧在长期行为：SIS 有稳态的地方病平衡，SIR 有最终感染规模的饱和。

阈值塌缩：均匀世界的安全感破产

均匀混合框架里，基本再生数的直觉是「平均一个感染者再传染的人数」，它大于一疫情自持、小于一疫情熄火——阈值是个干净的正数。把这套推导搬到网络上，分母里悄悄换成了「接触数的方差与均值平方之比」：方差越大，有效阈值越低。无标度网络的方差随规模发散（第 3 章登记过「方差/均值比」警报器），于是阈值的数学极限是零——不存在安全强度，任何微弱的病原都能在枢纽人口里自持。

直觉账本两页。第一页：枢纽是超级传播者——度高出平均多少倍，风险敞口就大多少倍，疫情早期的「找不到零号病人却看指数增长」多半是撞上了枢纽链。第二页：阈值趋零不等于「人人必感染」——最终规模仍受恢复速度与结构约束，但「把传播压到阈值以下」的防控策略在无标度网络上数学失效，防控必须改打结构牌（免疫枢纽、切断关键边），这正是下一节的主题。

import networkx as nx
import random

def sis_simulation(G, lam, mu=1.0, steps=300, seed=3):
    """SIS 网络simulation：lam=每边传播率 mu=恢复率，返回稳态感染占比"""
    rng = random.Random(seed)
    infected = {rng.choice(list(G.nodes()))}
    for _ in range(steps):
        new_inf = set(infected)
        for v in list(infected):
            for u in G[v]:
                if u not in infected and rng.random() < lam:
                    new_inf.add(u)
            if rng.random() < mu:
                new_inf.discard(v)
        infected = new_inf
    return len(infected) / G.number_of_nodes()

ER = nx.gnp_random_graph(800, 6 / 799, seed=1)
BA = nx.barabasi_albert_graph(800, 3, seed=1)
print("传播率 | ER感染率 | BA感染率")
for lam in [0.05, 0.1, 0.15, 0.2]:
    print(f"{lam:6.2f} | {sis_simulation(ER, lam):8.2f} | {sis_simulation(BA, lam):8.2f}")
​

读数把「阈值塌缩」演给你看：同参数下，无标度网在极低传播率处已有可观的地方病稳态，随机网要等传播率爬过明显的门槛才起火。同一套规则、同一批参数，命运的分岔完全写在度分布里。

免疫策略：三代接种手册

阈值塌缩的工程对偶是免疫策略：给节点接种即移除其传播风险，等效于占据渗流里抽走节点（第 5 章接口在此接通）。第一代，随机接种：均匀抽人接种——在异质网络上效率不彰，子弹大多落在低度节点上，枢纽依旧裸奔。第二代，靶向接种：按度排序优先接种头部节点——效率最高，但要求完整名单与度信息，且名单会过期（网络在长）。第三代，熟人接种：随机抽人，不接种本人、接种其一位随机熟人——妙在「我随机认识的人比我更可能是枢纽」（朋友平均比本人更受欢迎，这是一条著名的统计奇观），无需任何全局信息就自动偏向枢纽。熟人策略是网络科学回馈公共卫生的招牌礼物：用本地信息实现准靶向效果。

import networkx as nx
import random

def final_size_sir(G, vaccinated, lam=0.3, mu=1.0, seed=5):
    """接种后跑SIR，返回感染规模占比（多seed平均）"""
    rng = random.Random(seed)
    total = 0
    for _ in range(8):
        infected = {rng.choice(list(G.nodes()))} - vaccinated
        infected = {v for v in infected if v not in vaccinated}
        ever = set(infected)
        while infected:
            new_inf = set()
            for v in infected:
                for u in G[v]:
                    if u not in ever and u not in vaccinated and rng.random() < lam:
                        new_inf.add(u)
                if rng.random() < mu:
                    infected = set()  # 简化：单步恢复
            infected = new_inf if new_inf else set()
            ever |= new_inf
            if not new_inf:
                break
        total += len(ever) / G.number_of_nodes()
    return total / 8

BA = nx.barabasi_albert_graph(600, 3, seed=2)
k = 60                                    # 接种预算：一成节点
random_vac = set(random.sample(list(BA.nodes()), k))
target_vac = {n for n, _ in sorted(BA.degree(), key=lambda x: -x[1])[:k]}
acquaintance_vac = set()
rng = random.Random(0)
while len(acquaintance_vac) < k:
    person = rng.choice(list(BA.nodes()))
    acquaintance_vac.add(rng.choice(list(BA[person])))
print("随机接种 最终规模:", round(final_size_sir(BA, random_vac), 3))
print("靶向接种 最终规模:", round(final_size_sir(BA, target_vac), 3))
print("熟人接种 最终规模:", round(final_size_sir(BA, acquaintance_vac), 3))
​

典型读数排序：靶向最优、熟人紧随、随机垫底——且熟人策略没有用过任何度信息。把预算拨到一成上下，三种策略的差距已经拉开数倍；这正是「结构干预优于强度干预」的实证版本。

信息扩散：同一台引擎的另一个排挡

病原引擎换排挡就是信息引擎。独立级联模型：激活节点以独立概率尝试激活每个未激活邻居，成功即转化、失败不再重试——纯 SIR 血统。线性阈值模型：节点被「够多邻居已激活」的门槛推倒——加权版的从众心理学，谣言与爆款常按此传播。信息侧的三条结构读数与病原侧严格同构：枢纽等于大号传播者（营销里的关键意见领袖）、社团内饱和与跨社团衰减对应「圈层传播」、弱边承担跨圈引爆（第 7 章格兰诺维特理论的传播版）。差异也要登记：信息有「看过就腻」的注意力衰减（对应恢复率变大）、有平台算法这个「看不见的加权器」——把算法当权重，引擎照用。

⚠️ 常见坑：把「结构阈值趋零」读成「线上谣言必爆」。注意力是稀缺资源，信息侧的有效恢复率远高于病原侧——阈值趋零说的是数学倾向，实际规模还要过注意力与算法两道闸。

图 同一引擎、两张网络、两种命运

本站收束

• SIR/SIS 搬上网络后，阈值被度分布的方差改写：无标度网络阈值趋零，流行没有安全强度
• 枢纽等于超级传播者；疫情早期的隐蔽指数增长多半是枢纽链作祟
• 免疫三代目：随机（低效）、靶向（最优但吃全局信息）、熟人接种（本地信息自动偏向枢纽）
• 独立级联与线性阈值是 SIR 的信息版排挡；注意力衰减与算法加权是信息侧的两道闸
• 防控从「压强度」转向「动结构」：接种枢纽、切断关键边

下一间实验室换个雪崩机制：不是病原沿边传染，而是负载沿边转嫁——级联失效。