4.4 多径衰落与信道建模

4.4 多径衰落与信道建模

开阔乡野的电波走一条路，城市里的电波走一万条路：每面墙、每块玻璃、每辆卡车都在反射与散射，同一信号的多份拷贝沿不同路径抵达接收端，路径长短不同导致相位不同——同相相长、反相相消，接收机前的信号强度像醉汉一样起伏。本节把这条最混乱的航线理成账目：先看两径模型理解干涉的确定性一面，再用瑞利与莱斯统计给起伏建账，最后交代相干带宽与多普勒扩展这两个决定系统设计的"信道指纹"，并以射线追踪收尾（旧版城市与室内射线追踪一节并入）。本节也是通往第7章随机无线电物理的桥头堡。学完它，你会明白移动通信里"深度衰落"从来不是玄学，而是有分布、有参数、可预算的物理事件。

一、两径模型：干涉的确定性底片

最简单的多径是"直达波加一路地面反射"。接收场是两个相位的矢量和：直达路径 d 与反射路径近似 d + Δ，Δ 随距离增长而变小，两路相位差 kΔ 随距离缓慢旋转，合成场在 +1 与 −1 倍直达场之间摆动。陆地移动通信的经典结论由此而来：距离每增十倍，接收功率不是降 20 dB 而是降 40 dB（反射地面上的两径指数），破坏了自由空间的平方反比直觉。现实环境路径成百上千条，干涉图样在空间里织成细密的"衰落斑纹"——手机在房间里挪半米信号从满格掉到一格，就是从一块斑纹滑进了相邻的暗斑。

二、瑞利与莱斯：给起伏建统计账

当路径多到无法一一追踪时，中心极限定理接管：接收复信号是大量独立相位贡献的求和，实部虚部趋于高斯分布，其模的分布就是瑞利分布——无直射径的城市环境的默认模型。存在一条主导直射径（或强镜面反射）时退化为莱斯分布，K 因子衡量直射径与散射分量之功率比：K 越大起伏越温和，K 趋于无穷回到无衰落，K 趋于零退回瑞利。衰落深度也分层记账：小尺度衰落指波长量级的快速起伏（几十分贝），大尺度衰落指数百波长上的平均电平变化（阴影衰落，对数正态分布，标准差城市约 8 dB）——预算表里前者由分集与编码对付，后者由链路余量对付。

# 瑞利与莱斯衰落的蒙特卡洛实验
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
N = 100000

# 瑞利：复高斯实虚部各占一半功率
h = (rng.normal(size=N) + 1j*rng.normal(size=N))/np.sqrt(2)
power_ray = np.abs(h)**2
print(f"瑞利均值功率 {power_ray.mean():.3f}（理论 1.000）")
print(f"瑞利深衰落概率（低于均值 10 dB）：{np.mean(power_ray < 0.1)*100:.1f}%")

# 莱斯：加一条直射径 K=10
K = 10.0
h_los = np.sqrt(K/(K+1)) + np.sqrt(1/(K+1))*h
power_rice = np.abs(h_los)**2
print(f"莱斯 K=10 深衰落概率：{np.mean(power_rice < 0.1)*100:.2f}%")
# 深衰落概率骤降——直射径就是最便宜的抗衰落措施
​

瑞利信道里信号跌到均值百分之一的概率约百分之九——移动系统必须假设这种深度衰落每秒都会撞上，差错控制与交织的长度正是按这份统计账配的。

三、信道指纹：相干带宽与多普勒扩展

两条多径的时延差决定它们是否"打架"：时延差小于倒数带宽窗口时，信道对整个信号呈现平坦衰落（所有频率成分同起同落）；时延差更大则频率选择性衰落（信号一部分频率暗、一部分亮，OFDM 与均衡器的用武之地）。分界线是相干带宽 Bc ≈ 1/(5·στ)（στ 为均方根时延扩展，室内纳秒级、城市山区微秒级）——它决定载波间隔与均衡策略，是信道留给系统设计师的第一枚指纹。

第二枚指纹是多普勒扩展：终端以速度 v 移动，各路径入射角不同造成频移弥散，最大多普勒 fd = v·f/c。1.8 GHz、120 km/h 时 fd 约 200 Hz，相干时间约 1/(2fd) ≈ 2.5 毫秒——比这个更长的符号要面对快衰落，信道估计必须按毫秒级刷新。高铁场景 fd 冲上 kHz 量级，正是列车专网要专门设计的物理原因。

多径航线的干涉斑纹与统计起伏

四、射线追踪：城市信道的确定性造账

统计模型回答"平均会怎样"，射线追踪回答"这条街会怎样"。它的思路直接：从发射点追出成千上万条几何射线，每一反射、绕射按 2.2 节的反射系数与 4.2 节的绕射公式折算幅度相位，最后在接收点做相干叠加。镜像法处理一到两次反射、弹跳法与光源法处理多次反射，配合城市三维建筑模型，能给出米级分辨率的场强预测图——5G 站址规划、室内分布系统设计与电磁兼容预评估的主力工具。代价同样直白：反射次数每加一次，计算量翻数倍；建筑几何与材质数据的误差直接进入结果（材质介电常数往往只能猜）。工程实践因此是混合的：重点区域射线追踪精算，全域覆盖统计模型兜底，实测校准两头。

五、高频问答

相干带宽那枚指纹，替我算一次看看

城市宏小区的典型均方根时延扩展在一微秒量级，按五十百分比相关判据 Bc ≈ 1/(5σ)，相干带宽约两百kHz——窄于大多数现代载波带宽，所以宽带信号在城市里天然吃频率选择性衰落，均衡与 OFDM 子载波化是刚需。换到室内，时延扩展缩到几十纳秒，相干带宽冲上数兆赫兹，同一段协议在两种场景里的表现判若两链路。指纹不同，处方不同，这就是为什么同一套空口要配多种子载波间隔。

多普勒扩展与车速的换算也来一遍

频移 f_d = v/λ：两吉赫频段（波长十五厘米）、时速一百公里（每秒约二十八米），最大多普勒约一百八十五赫兹；相干时间取零点四除以 f_d，约两毫秒出头——导频与信道估计的刷新节奏必须快过它，否则波束指着昨天的方向。高铁场景速度翻四倍，多普勒跟着翻四倍，这就是高速铁路专网要为信道估计单独设计的原因。

阴影衰落的余量到底怎么折成覆盖率

阴影衰落近似对数正态，标准差城区取八分贝。边缘覆盖率要九成时，余量取一点二八个标准差，约十分贝；想提到九成五，一点六五个标准差，约十三分贝。每个九的进步都在链路预算里明码标价——运营商的站点密度之争，本质是这张价目表的反复重算。

手机进电梯信号骤降，是衰落还是遮挡

两笔账一起发生。电梯轿厢是半闭合金属腔，穿透损耗二三十dB 起步——这是遮挡的账；轿厢运动时内部多径几何快速变化，小尺度衰落的谷点高速扫过接收机——这是衰落的账。工程对策分头处理：井道内布泄漏电缆把走廊变成"管内基站"（遮挡账），终端的快速功率控制与重传兜住起伏（衰落账）。判断故障时也一样要分账：静止时信号差查穿透，移动时断续查衰落，混着查只会白忙。

本节要点回顾

• 两径底片：反射地面链路的距离指数从平方反比恶化到四次方反比，多径干涉是城市传播的主旋律。
• 统计建账：无直射径瑞利、有直射径莱斯，K 因子度量直射强度；深衰落是高频事件，系统必须按统计而非均值设计。
• 信道指纹：相干带宽决定平坦与选择性衰落的分界，多普勒扩展决定信道估计的刷新节奏。
• 衰落分层：小尺度起伏交给分集与编码，阴影衰落交给链路余量，两本账分开记。
• 射线追踪：确定性造账的极限工具，精度受建筑数据与反射次数约束，工程上与统计模型混编。

下一章追查航线上最戏剧性的事件：电波撞上目标后发生了什么——散射、绕射，以及从回波倒推目标形貌的逆问题。