1.1 从自发辐射到受激辐射

1.1 从自发辐射到受激辐射

台子还没搭，先把光与物质的最底层账算清。本节在全册的位置是"第零块砖"：后面 1.2 讲怎么让受激辐射占上风，第 3 章讲怎么把它的时间行为整形，全都踩在这节的爱因斯坦系数关系上。读懂这一节，你就明白"激光"（Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation）这个缩写里每一个词的分量。

三个过程：吸收、自发辐射、受激辐射

考虑一个二能级系统，上能级能量为 E2，下能级为 E1，频率满足 ν = (E2 − E1)/h。光与它相互作用只有三种基本过程：

• 受激吸收：下能级粒子吞掉一个光子跃迁上去，速率正比于下能级粒子数 N1 与光场能量密度 ρ(ν)。
• 自发辐射：上能级粒子"自己想通了"跳下来放一个光子，速率正比于 N2，与光场无关，发出的光子在相位、方向、偏振上完全随机。
• 受激辐射：上能级粒子在光场的"诱导"下跳下来，放出的光子与入射光子同频、同相、同向、同偏振——这是光放大的唯一来源。

1917 年爱因斯坦处理黑体辐射时发现：只用吸收和自发辐射两个过程，无法推出普朗克公式。他被迫引入第三个过程——受激辐射——并用热平衡条件把三个系数钉死在一个关系里。这个"被迫引入"的情节值得每个学激光的人记住：受激辐射不是实验先看到的，而是理论自洽性要求的。

爱因斯坦系数关系

设受激吸收系数为 B12，受激辐射系数为 B21，自发辐射系数为 A21。稳态下上下能级粒子交换平衡：

N1 B12 ρ(ν) = N2 A21 + N2 B21 ρ(ν)

与普朗克黑体辐射公式对比，得到两个著名结果：

• 简并度修正：g1 B12 = g2 B21。对大多数激光能级 g1 = g2，于是 B12 = B21——光对上下能级的"刺激"一视同仁。这意味着在 N1 > N2 的正常布居下，吸收永远压过受激辐射，光只能被削弱，不能被放大。
• 自发与受激之比：A21/B21 = 8πhν³/c³。这个比例随频率立方增长——波长越短，自发辐射相对越猖獗，这正是短波长（蓝光、紫外、X 射线）激光器难做的根本原因之一：你辛苦攒下的上能级粒子，还没来得及受激就被自发辐射挥霍掉了。

由此还能引出能级寿命 τ = 1/A21 与谱线线宽的倒数关系：自发辐射快，线就宽；想要窄线宽，需要长得慢的"亚稳态"。红宝石中铬离子的 2E 能级寿命约 3 毫秒，长得反常，这正是它能做出第一台激光器的原因——梅曼 1960 年选它不是偶然。

为什么放大需要"雪崩"

一个光子进入反转介质，穿过厚度 dz 后诱发出的额外光子数为 dI ∝ ΔN σ I dz，其中 σ 是受激辐射截面，ΔN = N2 − N1 是反转密度。解这个微分方程得到光强沿路径指数增长：

I(z) = I(0) · exp(ΔN σ z)

举例：Nd:YAG 在 1064 nm 的受激辐射截面约 2.8×10⁻¹⁹ cm²，若反转密度 2×10¹⁸ cm⁻³，则增益系数 g = ΔN σ ≈ 0.56 cm⁻¹，10 cm 的棒单程增益约 e^5.6 ≈ 270 倍。反过来，如果 ΔN 是负的（正常布居），同样的公式给出指数衰减——吸收介质。同一个公式，符号一变，物理意义完全相反，这是激光物理最经济的时刻之一。

用 Python 把这笔账算一遍：

import math

# Nd:YAG 1064 nm 增益估算
sigma = 2.8e-23   # 受激辐射截面，单位 m^2（即 2.8e-19 cm^2）
delta_N = 2e24    # 反转密度，单位 m^-3（即 2e18 cm^-3）
L = 0.10          # 增益介质长度，单位 m

g = sigma * delta_N          # 小信号增益系数，单位 1/m
gain = math.exp(g * L)       # 单程强度增益倍数
print(f"增益系数 g = {g:.3f} /m")
print(f"10 cm 单程增益 = {gain:.1f} 倍")
# 输出: 增益系数 g = 0.560 /m
#       10 cm 单程增益 = 270.4 倍

# 若布居正常（ΔN 同样大小但为负）：
loss = math.exp(-g * L)
print(f"无反转时单程剩余 = {loss*100:.2f}%")
# 输出: 无反转时单程剩余 = 0.37%
​

算例里的第二个数字很有教学价值：同一根棒，反转与不反转，输出差近五个数量级。"调腔"的一切辛苦，本质都是在维护这个指数里的正号。

易错点与台上直觉

易错一：以为二能级系统能做激光。由 B12 = B21 可知，最多把上下能级抽成各半（N1 = N2），此时增益与吸收抵消，介质透明——永远到不了放大。所以实用的激光介质都是三能级或四能级结构，把"泵浦能级"与"激光上能级"分开（详见 1.2）。

易错二：把自发辐射当浪费。在振荡建立阶段，正是自发辐射的那几个"侥幸"光子充当了种子，沿腔轴的那部分自发辐射被反复放大，最终长成激光。完全无自发辐射的介质反而起振不了。另外第 3 章会讲到，自发辐射还是量子噪声的源头，决定了线宽的 Schawlow-Townes 下限——它既是点火器，也是噪声底。

易错三：混淆"相干"与"同频"。受激辐射给出的不仅是频率相同，更重要的是相位锁定——这正是激光时间相干性的来源。只记"同频"会在第 3.1 节读相干长度公式时卡壳。

光子统计：三种辐射的"身份指纹"

三种过程还能从光子统计角度分辨。热光（自发辐射的杂混）的光子数服从玻色-爱因斯坦分布，涨落超过泊松分布；理想的单模激光在远高于阈值时逼近泊松分布（涨落最小）；而放大的自发辐射与某些参量过程会呈现超泊松的巨涨落。这套统计语言看似抽象，在工程上却非常实用：用光电探测加方差分析，可以判断一台"看似出光"的机器到底是真激光、还是放大的自发辐射在冒充——低增益器件（如某些半导体放大器）的验收测试就用这一招。

再看一个量级对比：一支 1 mW 的 He-Ne 每秒输出约 3×10¹⁵ 个光子，而同一时间窗口里自发辐射进全空间的光子数远大于此。受激辐射的伟大不在于发出很多光子，而在于把光子"组织"进了同一个模式：同频、同相、同向、同偏振。组织的成本，就是 1.2 节要付的泵浦账。

顺带纠正一个常见误读：教科书上的"受激辐射光子与入射光子全同"常被理解成"复制粘贴"。更准确的说法是：受激辐射过程的光子产生概率正比于腔内已有光场的光子数，且新生的场分量与原场同相位叠加——是场与场相干叠加，而不是小球复制小球。用场的语言而不是粒子小球的语言理解激光，后面读锁模（3.2 节）与频率梳（6.3 节）时会顺畅得多。

台面直觉：在示波器上看一台即将起振的激光器，阈值以下输出的是杂乱的自发辐射底；泵浦继续加，某一点上波形突然"立正"——那就是受激辐射接管、指数放大启动的瞬间。这个突变点就是 1.2 节要定量处理的阈值。