3.1 信号与系统分析

3.1 信号与系统分析

本节摘要：本节建立全册通用的分析框架：信号如何分类（确定与随机、能量与功率、周期与非周期），系统如何刻画（线性、时不变、因果、稳定），以及 LTI 系统的两大等价描述——冲激响应（时域）与传递函数（频域）。卷积与傅里叶变换在此从数学工具升格为工程语言。案例做一次电话拨号音的完整解码。

问题开场：两个仪表读数引发的争论

两个团队对同一段采集数据各执一词：时域示波器派说"信号幅度正常、看起来干净"；频域频谱仪派说"谱里有个不该有的窄峰，是干扰"。谁对？都对。同一段信号，两个投影。这桩"公案"正是本节的立论：信号分析的第一步不是计算，而是选对观察平面。时域看事件何时发生，频域看成分是什么，时频平面看"什么成分在何时出现"。选错平面，干扰就藏在你的眼皮底下。

信号的分类：先体检再开药

LTI 系统：一个假设换来整个体系

线性（叠加成立）加时不变（今天做实验明天结果一样）两个假设，换来惊人的回报：系统对任意输入的响应，完全由它对一个冲激的响应决定。这就是卷积：把输入拆成一串冲激，各自乘上系统响应的平移副本，再加起来。

卷积的频域对偶更漂亮：卷积变成乘法。于是"信号过系统"这件事，在时域是卷积、在频域是逐点相乘，传递函数在每个频率上说"这个分量放大几倍、延迟多少"。滤波器设计（2.2 节）本质就是在塑造这条乘法曲线。

图 3.1-1 同一系统两张脸：冲激响应与频率响应互为傅里叶变换

因果性（输出不早于输入）与稳定性（有界输入有界输出）给系统划定法律边界：稳定要求极点全部位于复平面左半边（连续）或单位圆内（离散）。2.2 节问"这个放大器会不会啸叫"，判据就在这里——反馈环路的极点是否越界。

采样：连续与离散的国境线

把连续信号乘以冲激串，得到的离散序列在频域是原频谱的周期复制。奈奎斯特定理一句话：采样率必须超过信号最高频率的两倍，否则频谱副本重叠（混叠），重叠即永久失真，无法事后修复。这就是 2.2 节音频通路里那颗 3.4 千赫抗混叠低通存在的全部理由——它守在国境线上，把越境的高频成分拦下。

⚠️ 常见坑：以为"采样率高一点总没坏处"在混叠上成立就万事大吉。采样率翻倍意味着数据量与后端处理量翻倍，第五章的基带带宽也要跟着涨。工程是在"刚好两倍多一点"附近精打细算：语音 8 千赫采样配 3.4 千赫截止，留 300 赫兹过渡带给滤波器滚降。

案例：双音多频拨号音解码

背景：老式电话按键每个键由两个频率的正弦叠加表示（行频与列频各一），交换机靠听音辨键。这是本节框架的天然靶场。操作：采集 8 千赫采样的一帧按键音；加窗抑制频谱泄漏；做快速傅里叶变换；在行频组（697、770、852、941 赫兹）与列频组（1209、1336、1477 赫兹）各找最高峰；查表得键值。核心代码：

import numpy as np

ROW = [697, 770, 852, 941]          # 四个行频
COL = [1209, 1336, 1477]            # 三个列频
KEYS = [['1','2','3'],['4','5','6'],['7','8','9'],['*','0','#']]

def decode_dtmf(x, fs=8000):
    spec = np.abs(np.fft.rfft(x * np.hanning(len(x))))   # 加窗后取幅度谱
    freq = np.fft.rfftfreq(len(x), 1/fs)
    near = lambda f: np.argmin(np.abs(freq - f))         # 找最近的谱线位置
    r = max(ROW, key=lambda f: spec[near(f)])            # 行频最高者胜出
    c = max(COL, key=lambda f: spec[near(f)])
    return KEYS[ROW.index(r)][COL.index(c)]

t = np.arange(0, 0.1, 1/8000)
tone = np.sin(2*np.pi*852*t) + np.sin(2*np.pi*1336*t)    # 模拟按下数字 8
print("解码结果:", decode_dtmf(tone))      # 输出：解码结果: 8
​

结果与解读：十毫秒含噪不多的按键音即可稳定解码。注意三个细节——窗函数（不加窗时能量从主瓣泄漏到旁瓣，相邻行频会被误判）、帧长选择（太短频率分辨率不够，分不开 697 与 770 赫兹这对近邻：分辨率近似等于采样时长分之一的倒数，10 毫秒约 100 赫兹，勉强够用）、以及"每组取最大"的判决思想（与第五章接收机里的最大似然判决同宗同源）。变式：若按键音混在语音里（免提场景），要加能量门限与二次确认逻辑，否则语音里的巧合频率组合会伪造按键——早期自动答录机被录音"遥控"的事故正是这么来的。

随机信号：从波形到统计量

实际信号几乎都带随机成分，分析工具从"一条曲线"换成"统计特性"：均值、方差、自相关、功率谱。自相关是"信号与自己平移后的相似度"，平移零点处的值就是平均功率；维纳辛钦定理说自相关与功率谱是一对傅里叶变换——把第一章 1.1 的噪声建模与本节的频域工具正式接通。白噪声的自相关是冲激形状、功率谱平坦，两个"长相"互为印证。

本节要点回顾

• 选对观察平面：时域看时序、频域看成分、时频看演变，干扰常只在一个平面上现形；
• LTI 加持下，冲激响应完全决定系统，时域卷积与频域乘法是同一件事的两面；
• 采样定理是模拟与数字的国境线，抗混叠滤波先于采样；
• 极点位置判稳定性，反馈系统的啸叫审查由此入手；
• DTMF 解码示范了"采样、加窗、变换、判决"的标准流程，它是后续所有接收机的缩微版。

框架已立。下一节进入离散世界的车间：采样量化之后，怎样设计数字滤波器、怎样用快速傅里叶变换做实时频谱分析。