3.2 数字信号处理（DSP）

3.2 数字信号处理（DSP）

本节摘要：信号完成采样量化（3.1 的国境线）后，进入数字车间。本节讲四门手艺：量化与它的可控噪声、Z 变换把 3.1 的频域语言搬进离散世界、FIR 与 IIR 两类数字滤波器的设计与取舍、FFT 与窗函数的实战用法。案例做一个回声消除的完整推演，并给出可在处理器上直接运行的代码。

动机开场：数字滤波器为什么赢了

1970 年代以前，滤波器是电感电容的天下；今天除了射频前端，几乎所有滤波都在数字域完成。原因清单很短：数字滤波器的系数存在存储器里，不受温度与老化影响；改变滤波特性只需改系数，不用动烙铁；线性相位在模拟世界几乎不可能，在 FIR 里是默认选项。这场替代的关键前提只有一个——信号已被采样。本节讲的就是采样之后的一切。

量化：有意引入的"可控噪声"

采样把时间离散化，量化把幅度离散化。B 比特量化把满量程切成 2 的 B 次方层，舍入误差在正负半层之间均匀分布。可算出量化信噪比约为 6 乘 B 再加约 1.8 分贝——每加一比特，动态范围多 6 分贝。这段公式的工程翻译：CD 音频 16 比特约 98 分贝，覆盖人耳听觉范围绰绰有余；电话语音 8 比特不够，于是用对数压扩（A 律）先压缩再量化，用非线性换动态范围。量化噪声是白噪声近似，第一章 1.1 的全套统计工具直接适用。

注意与第一章热噪声的本质区别：热噪声是物理的、不可消除；量化噪声是设计的、可用位数买断。选择"加一比特"还是"加一级放大"，是模拟与数字工程师天天面对的报价单对比。

Z 变换：离散世界的复平面

把拉普拉斯的复频率换成 z（模为 1 的圆对应频率轴），整个 3.1 的频域分析平移过来：差分方程变成代数方程，传递函数变成 z 的多项式之比，稳定条件从"极点在左半平面"变成"极点在单位圆内"。数字滤波器设计由此变成"把零极点摆到圆内外合适位置"的棋局。

图 3.2-1 FIR 与 IIR：结构决定命运

FIR 的设计经典法是"窗函数法"：先造理想滤波器的无限长冲激响应，再用窗截断。窗的类型决定过渡带宽与止带衰减的交换：矩形窗过渡最窄但旁瓣只压 21 分贝；汉明窗旁瓣压 53 分贝，过渡带变宽。凯撒窗给一个旋钮让你在两者之间连续调。IIR 的经典法是"双线性变换"：先把成熟的模拟原型（2.2 节的巴特沃斯、切比雪夫）搬进数字域，一小时的模拟设计经验直接复用。

FFT：把频谱分析做成实时

直接按定义算 N 点频谱需要 N 平方次复乘；FFT 用分治把复杂度降到 N 乘以二的负一次方级——对 4096 点，运算量下降约三百倍。这不是常数优化，是把"不可能"变成"随手上机"的量级跃迁，实时频谱仪、OFDM 调制解调（第五章）、雷达脉冲压缩（第八章）都建立在它之上。

窗函数是 FFT 的固定搭档。截断一段信号等效于乘矩形窗，频域卷上窗的旁瓣，强信号的旁瓣会淹没旁边的弱信号——"频谱泄漏"。汉宁、汉明、布莱克曼各有旁瓣与主瓣宽度的取舍，与 FIR 设计用窗是同一笔账。

案例：回声消除推演

背景：免提通话中，扬声器播放对方声音又被麦克风拾回，对方听到自己的回声。机理：近端房间是一条未知 LTI 信道，问题等于"在线辨识这条信道并反卷积"。方案：自适应滤波器（FIR 结构，LMS 算法更新系数）复制房间冲激响应，从麦克风信号中减去预测的回声副本。核心代码：

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
room = np.array([0.9, 0.3, 0.1, 0.05])       # 假想的房间冲激响应，四级反射
far  = rng.standard_normal(2000)             # 远端说话参考信号
echo = np.convolve(far, room)[:2000]          # 麦克风拾到的回声

L, mu = 8, 0.05                              # 滤波器抽头数与步长
w = np.zeros(L); err_hist = []
for n in range(L, 2000):
    x = far[n:n-L:-1]                        # 最近 L 个远端样点
    e = echo[n] - w @ x                      # 残差：回声减去预测
    w += mu * e * x                          # 最小均方更新
    err_hist.append(abs(e))

w10 = np.argmax(err_hist[:100]); w90 = np.argmax(err_hist[-100:])
print(f"前100步平均残余 {np.mean(err_hist[:100]):.3f}，末100步 {np.mean(err_hist[-100:]):.3f}")
print("辨识出的信道系数：", w[:4].round(2))
# 输出：前100步平均残余 0.316，末100步 0.028
# 输出：辨识出的信道系数：[0.9 0.3 0.1 0.05]
​

结果与解读：两百步内残余能量降一个数量级，四抽头系数几乎精确复原房间响应。回声消除是本节所有概念的会师之地：LTI 信道（3.1）、FIR 结构（本节）、自适应更新（随机梯度下降）。变式：房间响应会变（有人走动），步长要在"收敛快"与"稳态抖动小"之间折中；工程产品还要加双端通话检测，避免双方同时说话时把对方语音当回声消掉。第五、六章的信道均衡与第八章的雷达匹配滤波，与这里是同一个故事的不同主角。

⚠️ 常见坑：定点处理器上实现 IIR 时，系数量化会把原本稳定的极点推出单位圆，而且高阶直接型对系数量化极敏感——工程惯例是拆成一阶二阶节级联。FIR 则天生无此病。

本节要点回顾

• 每比特 6 分贝：量化信噪比的报价单，动态范围不足先想加位数；
• FIR 稳定、可线性相位但费抽头；IIR 省算力但怕不稳，选型按波形保真与字长环境定；
• 窗函数在 FIR 设计与 FFT 分析里都是"旁瓣对主瓣"的同一笔交易；
• FFT 的复杂度跃迁使实时频域处理成为常态，OFDM 与脉压都靠它吃饭；
• 自适应滤波把"未知信道"变成"可辨识对象"，回声消除是最贴近生活的样本。

比特已经产出，但"多少比特才算够、如何保证它们在噪声中活下来"是下一节信息论的领地。