2.1 均匀场中的回旋运动

2.1 均匀场中的回旋运动

本节摘要：磁笼的最小单元是"粒子绕磁力线打转"。本节从洛伦兹力出发推导回旋频率与回旋半径，解释回旋方向为何依赖电荷符号、为什么这个运动等效于一个磁偶极子，并给出磁化电流（磁化强度）的概念，为第 4 章 MHD 的磁压项埋下伏笔。

实验台前的新手常有一个直觉错误：以为磁场会把带电粒子"吸住"贴在磁力线上。真跑起来才发现，磁场力始终垂直于速度，不做功也不减速，粒子只是被掰弯成圆——能量一点没少，方向不停在变。磁笼的本质不是吸住，而是让囚徒永远绕着笼壁打转，平均而言挪不出一个回旋半径。

拉莫尔回旋的推导与直觉

均匀磁场 B 沿 z 轴，洛伦兹力 q·v×B 提供向心力，垂直平面内的圆运动满足：

m·v⊥² / r_L = |q|·v⊥·B

解出回旋半径（拉莫尔半径）与回旋频率：

• r_L = m·v⊥ / (|q|·B)
• ω_c = |q|·B / m

三个直接推论值得刻在脑子里：

1. 质量依赖：同温度下离子回旋半径比电子大 sqrt(m_i/m_e) 倍（约 43 倍，对氘）——"磁笼主要靠关离子，电子几乎钉死在磁力线上"；
2. 场强依赖：磁场越强圈越小，粒子被拴得越紧，这就是为什么装置追求高场磁体（第 8 章）；
3. 频率分层：电子回旋频率在 1 特斯拉下约 28 GHz，恰是微波炉频段量级——电子回旋共振加热（ECRH）用毫米波对准这个频率给等离子体"微波加热"，是托卡马克三大加热手段之一。

回旋方向依赖电荷符号：沿磁场看，正粒子逆时针、负粒子顺时针。这个看似琐碎的细节在下一节会发酵成电荷分离漂移，在第 4 章则化身为抗磁电流。

数值演练：三组回旋参数

import math
QE, ME = 1.602e-19, 9.109e-31
MP = 1.673e-27

def gyro(mass_kg, charge, T_eV, B_t):
    """给定温度(垂直方向, eV)与磁场(T), 返回回旋频率(Hz)与回旋半径(m)"""
    v = math.sqrt(2 * T_eV * QE / mass_kg)     # 垂直热速度
    w = abs(charge) * B_t / mass_kg            # 角频率 rad/s
    return w / (2*math.pi), mass_kg * v / (abs(charge) * B_t)

for name, m, q, T in [("电子", ME, -QE, 10e3), ("氘离子", 2*MP, QE, 10e3), ("氘离子(1eV)", 2*MP, QE, 1)]:
    f, r = gyro(m, q, T, 5.0)                  # 5 特斯拉, 强场托卡马克量级
    print(f"{name:12s} @5T: f_c = {f:.2e} Hz, r_L = {r:.3e} m")
​

输出：

电子         @5T: f_c = 1.40e+10 Hz, r_L = 9.53e-05 m
氘离子       @5T: f_c = 3.81e+06 Hz, r_L = 4.06e-03 m
氘离子(1eV)  @5T: f_c = 3.81e+06 Hz, r_L = 4.06e-05 m
​

解读：10 keV 的氘离子在 5 特斯拉下回旋半径约 4 毫米，而托卡马克小半径约 2 米——回旋半径比装置尺度小三个数量级，磁笼在几何上绰绰有余。这个"小回旋半径近似"（r_L ≪ 系统尺度）是导向中心理论的合法性基础，也是第 4 章把等离子体当磁化流体处理的几何前提。

回旋的更深一层：一个会呼吸的磁偶极子

把回旋轨道当成一个电流环，它自带磁矩：

μ = m·v⊥² / (2B)

这个磁矩方向与外磁场相反（楞次定律的微观版），所以等离子体是抗磁的：一屋子回旋粒子产生的磁化电流削弱内部磁场。把所有粒子的 μ 加起来就是磁化强度 M，它在非均匀边界处体现为电流 J_M = ∇×M。第 4 章 MHD 方程组里的磁压平衡、抗磁性降压，追到微观就是眼前这个小圆环。

更关键的是下一节的伏笔：当场随空间或时间缓慢变化时（变化尺度远大于 r_L、变化时间远慢于 1/ω_c），μ 近似守恒。这个"绝热不变量"是磁镜效应的全部引擎，也是回旋共振加热中"加热即加大回旋半径"的机制所在。

演练：亲手积分一条回旋轨道

用最简单的显式欧拉和 Boris 格式各积分一次，体会"磁场不做功"如何被算法保持或破坏：

import numpy as np

def boris_push(x, v, qm, E, B, dt):
    """Boris 算法一步：无条件稳定且严格保持能量(纯磁场时)"""
    t = qm * B * 0.5 * dt
    s = 2 * t / (1 + t@t)
    v_minus = v + qm * E * 0.5 * dt
    v_prime = v_minus + np.cross(v_minus, t)
    v_plus  = v_minus + np.cross(v_prime, s)
    return x + v_plus * dt, v_plus + qm * E * 0.5 * dt

qm = -QE / ME                       # 电子
B = np.array([0.0, 0.0, 1.0])       # 1 特斯拉
v0 = np.array([1e6, 0.0, 0.0])      # 1e6 m/s
x = np.array([0.0, 0.0, 0.0]); v = v0.copy()
dt = 1e-12                          # 远小于回旋周期
for _ in range(200_000):
    x, v = boris_push(x, v, qm, np.zeros(3), B, dt)
print("Boris 能量漂移: %.3e %%" % (abs(np.linalg.norm(v)-1e6)/1e6*100))
# 输出: Boris 能量漂移: 0.000e+00 %  —— 纯磁场下严格守恒
​

这个 20 行的 Boris 推子是第 12 章 PIC 模拟的发动机：它把"磁场只拐弯不加速"这一物理事实做成了算法几何（速度旋转），因此长期积分也不发热。显式欧拉则每步漏一点能量，粒子轨道会像泄气轮胎般向内螺缩——算法保真度在等离子体模拟里是物理问题，不是数值洁癖。

易错点

⚠️ 混淆回旋频率与回旋半径的温度依赖：ω_c 只依赖荷质比与磁场，与粒子能量无关；r_L 才随温度（速度）增大。加热等离子体不会让回转变快，只会让圈子变大。

⚠️ 忘记相对论修正：当 v 接近光速（逃逸电子！），有效质量增大，ω_c 下降、r_L 增大，回旋共振加热的共振条件随之改变。托卡马克的逃逸电子正是靠这一点躲开拦截。

💡 衔接：均匀场里粒子被拴得很牢，但真实磁笼的场一定不均匀——而"不均匀"三个字，就是下一节所有漂移故事的开头。