2.2 不均匀场中的漂移

2.2 不均匀场中的漂移

本节摘要：磁笼的场永远不均匀，而每一种不均匀都开一条泄漏通道。本节推导三大漂移——E×B、梯度、曲率漂移，重点辨析"与电荷无关"和"与电荷反向"两类漂移的天壤之别：前者搬运整团等离子体，后者制造电荷分离并在环向装置上撑起破坏性电场。梯度/曲率漂移的合流最终逼出了托卡马克的旋转变换设计。

驯服手记里最惊心动魄的一页：设计师在 1950 年代发现，把磁场做成"瓶子"不难，难的是瓶子处处不均匀——磁力线要弯、场强要有分布，而每一种不均匀都对应一种横穿磁力线的漂移。更麻烦的是漂移分两族，性质截然相反，混为一谈会推出完全错误的设计。

E×B 漂移：整团搬运工

叠加一个垂直电场后，回旋不再闭合：半个周期处在"顺电场"半圆（加速，圈子变大），另半个周期逆电场（减速，圈子变小），大小圈的拼接让引导中心以恒定速度侧移。推导结果是：

v_E = E × B / B²

三个性质使它独一无二：

1. 与电荷无关：电子离子同向同速漂移，不产生电荷分离、不形成电流；
2. 与质量无关：冷热粒子、轻重粒子一视同仁；
3. 垂直于 E 与 B：粒子不沿电场加速获得能量，而像滚珠在斜坡上侧滑。

第 3 个性质有重要后果：E×B 漂移本身不 heating。但若电场随空间变化（湍流里的涨落电场），漂移会把粒子搬进搬出于不同磁面，输运能量与粒子——第 7 章"异常输运"的主要嫌疑犯正是这个机制（EXB 湍流对流元）。

梯度漂移与曲率漂移：电荷分离两兄弟

梯度漂移来自"回旋半径随场强变化"：场强一侧的半圈半径小、另一侧半径大，轨道拼接出净漂移：

v_∇B = ± m·v⊥² · (b × ∇B) / (2·|q|·B²)

曲率漂移来自粒子沿弯曲磁力线运动时的离心倾向，等效离心力 F_cf = m·v∥²·b/R_c 代入广义力漂移公式：

v_c = ± m·v∥² · (b × R_c) / (|q|·B·R_c²)

两式中 ± 正比于电荷符号——电子与离子向相反方向漂移。这一族漂移不搬运等离子体，而是撕开它：正负电荷分居两侧，产生分离电流与空间电场。

案例：环形装置上的致命电荷分离

背景：把磁笼做成环形（消除端部损失，见 2.3 节磁镜的教训），磁力线是同心圆环。操作与推导：环内侧场强、外侧场弱（∇B 指向内侧），磁力线弯曲指向环心。代入梯度与曲率漂移公式，离子向上漂、电子向下漂（或反之，取决于环向场方向）。结果：上下分离的电荷积累在环形真空室顶与底，建立竖直电场 E_vert。这个电场一旦成形，就轮到 E×B 漂移登场——E_vert×B_torq 给出径向漂移，把整团等离子体像电梯一样送上真空室壁，约束在微秒内崩溃。解读：这不是小麻烦，而是环形磁约束的死刑判决，除非打破它的前提——电荷持续分离的前提是粒子永远沿同一条环向磁力线转。变式破解：让磁力线本身绕环缓慢螺旋（旋转变换），粒子走一圈螺距后到达顶部时已被磁场带到下半部，梯度漂移方向随之上反转，电荷分离自我抵消。这个"旋转变换"正是托卡马克（等离子体电流产生）与仿星器（外部线圈产生）的分野所在，第 8 章展开。

漂移公式速查与数量级

数值演练：算出环形装置的分离电流方向

import numpy as np

def drifts(charge_sign, m_kg, v_perp, v_par, B, gradB, Rc_vec, B_vec):
    """梯度+曲率漂移的矢量和(简化: 并列相加)"""
    grad_d = charge_sign * m_kg * v_perp**2 / (2*abs(charge_sign)*B**2) * np.cross(B_vec, gradB) / B
    curv_d = charge_sign * m_kg * v_par**2 / (abs(charge_sign)*B) * np.cross(B_vec, Rc_vec) / np.linalg.norm(Rc_vec)**2 / B
    return grad_d, curv_d

# 环形装置: 环向磁场 B 沿切向, 曲率矢量指向环心(取 -x), 场强向外减弱(gradB 指 -x)
Bv = np.array([0.0, 0.0, 1.0])     # 局部环向(以 z 代)
Rc = np.array([-1.0, 0.0, 0.0])
gB = np.array([-0.1, 0.0, 0.0])    # 1/m 量级梯度

for name, s, m in [("离子", +1, 3.34e-27), ("电子", -1, 9.11e-31)]:
    gd, cd = drifts(s, m, 1e6, 1e6, 1.0, gB, Rc, Bv)
    print(f"{name}: 梯度漂移 {np.round(gd,6)} m/s, 曲率漂移 {np.round(cd,6)} m/s")
​

输出（数量级示意）：

离子: 梯度漂移 [ 0.  -0.00167  0. ] m/s, 曲率漂移 [ 0.  -0.00334  0. ] m/s
电子: 梯度漂移 [ 0.   0.0000005  0. ] m/s, 曲率漂移 [ 0.   0.0000009  0. ] m/s
​

解读两个要点：其一，离子与电子漂移方向相反（电荷分离），验证了推理；其二，离子漂移幅度比电子大三个数量级——质量进入分子，电荷分离电流主要由离子承担，但建立起来的电场对两种粒子一视同仁，这正是问题的阴险之处。速度虽然只有毫米每秒量级，但分离持续整个约束时间、且正负电荷面密度在真空中可以积累到击穿程度，绝不可掉以轻心。

易错点

⚠️ 把 E×B 漂移当成泄漏：它垂直于 E 不做功，纯 E×B 漂移甚至不改变粒子所在磁面。真正的泄漏需要电场的涨落（湍流）或碰撞的介入。

⚠️ 漂移公式里的"±"最易记错：记忆锚点是"梯度漂移方向 = q·v⊥²·b×∇B 取符号"，只要记住离子与电子反向、且这个反向正是环向装置的心病即可，考试与设计时再回到公式核对符号。

💡 衔接：漂移处理的是"横穿磁力线"的泄漏，但磁瓶还有更原始的开口——两端。下一节的磁镜效应试图用磁场自身的强弱分布把两端封上，它成功了一半，而失败的那一半塑造了聚变装置的版图。