2.6向量组的基与秩

2.6 向量组的基与秩

2.6 基和秩

在线性空间 V 中，我们特别感兴趣的是那些能够通过线性组合生成线性空间中每一个向量的向量集合。这些向量是特殊的，接下来我们将对它们进行描述。

2.6.1 生成集和基

定义2.13（生成集和张成空间）：考虑一个线性空间 V = (V, +, \cdot) 和一组向量 A = \{\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k\} \subseteq V。如果 V 中的每一个向量 \boldsymbol{v} 都可以表示为 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k 的线性组合，则称 A 是 V 的一个生成集。所有 A 中向量的线性组合的集合称为 A 的张成空间，记作 \text{span}[A] 或 \text{span}[\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k]。如果 A 张成了线性空间 V，我们写作 V = \text{span}[A] 或 V = \text{span}[\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k]。

生成集是能够张成向量（子）空间的向量集合，即每一个向量都可以表示为生成集中向量的线性组合。接下来，我们将更具体地描述最小的生成集，它张成了一个向量（子）空间。

定义2.14（基）：考虑一个线性空间 V = (V, +, \cdot) 和 A \subseteq V。如果一个生成集 A 是最小的，即不存在更小的集合 \tilde{A} \subset A \subseteq V 能够张成 V，则称 A 是 V 的一个基。每一个线性无关的生成集都是最小的，因此称为 V 的一个基。

设 V = (V, +, \cdot) 是一个线性空间，B \subseteq V，B \neq \emptyset。那么，以下陈述是等价的：

• B 是 V 的一个基。

• B 是一个最小的生成集。

• B 是 V 中一个最大的线性无关向量集合，即在 B 中添加任何其他向量都将使其线性相关。

• V 中的每一个向量 \boldsymbol{x} 都可以表示为 B 中向量的线性组合，并且每一个线性组合都是唯一的，即

  \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^k \lambda_i \boldsymbol{b}_i = \sum_{i=1}^k \psi_i \boldsymbol{b}_i \tag{2.77} $$ 其中 $\boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_k \in \mathcal{B}$，$\lambda_i, \psi_i \in \mathbb{R}$，我们立即有 $\lambda_i = \psi_i, i = 1, ..., k$。

例2.16：在 \mathbb{R}^3 中，标准基（或称为规范基）是

\mathbb{R}^3 中不同的基包括：

集合

是线性无关的，但不是 \mathbb{R}^4 的生成集（也不是基），因为例如向量 [1, 0, 0, 0]^\top 无法通过 A 中的向量的线性组合来表示。

注释：每一个线性空间 V 都有一个基 B。前面的例子表明，一个线性空间 V 可以有多个基，即基不是唯一的。然而，所有基都包含相同数量的元素，即基向量（译者注：基中的向量称为基向量）。♦

我们只考虑有限维线性空间 V。在这种情况下，V 的维数是 V 的基向量的数量，记作 \dim(V)。如果 U \subseteq V 是 V 的一个子空间，则 \dim(U) \leq \dim(V)，且 \dim(U) = \dim(V) 当且仅当 U = V。直观上，线性空间的维数可以被看作是该线性空间中独立方向的数量。线性空间的维数对应于其基向量的数量。

注释：线性空间的维数并不一定是向量中的元素数量。例如，线性空间 V = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} 是一维的，尽管基向量包含两个元素。♦

注释：一个子空间 U = \text{span}[\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_m] \subseteq \mathbb{R}^n 的基可以通过以下步骤找到：

1. 将张成向量作为矩阵 A 的列。
2. 确定 A 的行阶梯形式。
3. 与主元列对应的张成向量构成 U 的一个基。

例2.17（确定基）：对于一个向量子空间 U \subseteq \mathbb{R}^5，由向量

我们感兴趣的是找出 U 的一个基。为此，我们需要检查 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_4 是否线性无关。因此，我们需要解方程

这导致一个齐次线性方程组，其系数矩阵为

通过基本的线性方程组变换规则，我们得到行阶梯形式：

由于主元列表明了哪些向量是线性无关的，我们从行阶梯形式中看到 \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_4 是线性无关的（因为方程组 \lambda_1 \boldsymbol{x}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{x}_2 + \lambda_4 \boldsymbol{x}_4 = \boldsymbol{0} 只有平凡解 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_4 = 0）。因此，\{\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_4\} 是 U 的一个基。

2.6.2 秩

矩阵 A \in \mathbb{R}^{m \times n} 的线性无关列的数量等于线性无关行的数量，称为 A 的秩，记作 \text{rank}(A)。

注释：秩具有一些重要的性质：

• \text{rank}(A) = \text{rank}(A^\top)，即列秩（线性无关列的数量）等于行秩（线性无关行的数量）。
• A 的列张成一个子空间 U \subseteq \mathbb{R}^m，其维数为 \text{rank}(A)。我们稍后将称这个子空间为像或值域。可以通过对 A 应用高斯消元法来找到 U 的一个基，以确定主元列。
• A 的行张成一个子空间 W \subseteq \mathbb{R}^n，其维数为 \text{rank}(A)。可以通过对 A^\top 应用高斯消元法来找到 W 的一个基。
• 对于所有 A \in \mathbb{R}^{n \times n}，A 是可逆的当且仅当 \text{rank}(A) = n。
• 对于所有 A \in \mathbb{R}^{m \times n} 和所有 \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m，线性方程组 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} 有解当且仅当 \text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \boldsymbol{b}])，其中 [A \mid \boldsymbol{b}] 表示增广矩阵。
• 对于 A \in \mathbb{R}^{m \times n}，齐次方程组 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 的解空间的维数为 n - \text{rank}(A)。我们稍后将称这个子空间为核或零空间。核的维数为 n - \text{rank}(A)。
• 一个矩阵 A \in \mathbb{R}^{m \times n} 具有满秩，如果其秩等于对于相同维度的矩阵可能的最大秩。这意味着满秩矩阵的秩是行数和列数中较小的那个，即 \text{rank}(A) = \min(m, n)。如果一个矩阵的秩不等于满秩，则称该矩阵是秩亏的。

例2.18（秩）：

A 有两行线性无关的行/列，因此 \text{rk}(A) = 2。

我们使用高斯消元法来确定秩：

这里，线性无关的行和列的数量为2，因此 \text{rank}(A) = 2。