2.5线性无关

2.5 线性无关

接下来，我们将深入研究线性空间中的向量。特别是，我们可以将向量相加并用标量乘法进行缩放。线性空间的封闭性质保证了这样操作后得到的仍然是线性空间中的另一个向量。有可能找到一组向量，用它们可以表示线性空间中的每一个向量，通过将它们相加并进行缩放。这组向量称为基，我们将在第2.6节中讨论。在我们到达那里之前，我们需要引入线性组合和线性无关的概念。

2.5.1 线性组合

定义2.11（线性组合）：考虑一个线性空间 V 和有限个向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k \in V。那么，每一个形如

的向量 \boldsymbol{v} \in V，其中 \lambda_1, \dots, \lambda_k \in \mathbb{R}，称为向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k 的线性组合。

零向量 \boldsymbol{0} 总是可以表示为 k 个向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k 的线性组合，因为 \boldsymbol{0} = \sum_{i=1}^k 0 \cdot \boldsymbol{x}_i 总是成立的。接下来，我们感兴趣的是向量集合的非平凡线性组合，即线性组合中的系数 \lambda_i 不全为零的情况。

2.5.2 线性无关

定义2.12（线性无关）：设 V 是一个线性空间，且 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k \in V。如果存在一个非平凡的线性组合，使得

其中至少有一个 \lambda_i \neq 0，则称向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k 是线性相关的。如果只有平凡解，即 \lambda_1 = \cdots = \lambda_k = 0，则称向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k 是线性无关的。

线性无关是线性代数中最重要的概念之一。直观上，一组线性无关的向量由没有冗余的向量组成，即如果我们从集合中移除任何一个向量，我们就会失去某些信息。在接下来的部分中，我们将更正式地形式化这种直觉。

例2.13（线性相关的向量）：一个地理学的例子可能有助于澄清线性无关的概念。一个在肯尼亚内罗毕的人描述卢旺达基加利的位置时可能会说：“你可以先向西北方向走506公里到乌干达的坎帕拉，然后向西南方向走374公里。” 这足以描述基加利的位置，因为地理坐标系可以被视为一个二维线性空间（忽略海拔和地球的曲率）。这个人可能会补充说：“它大约在西边751公里处。” 尽管这个说法是正确的，但鉴于前面的信息，它是不必要的（见图2.7的示意图）。在这个例子中，“向西北方向506公里”的向量（蓝色）和“向西南方向374公里”的向量（紫色）是线性无关的。这意味着西南方向的向量不能用西北方向的向量表示，反之亦然。然而，“向西751公里”的向量（黑色）是另外两个向量的线性组合，这使得这组向量是线性相关的。同样地，给定“向西751公里”和“向西南方向374公里”，可以线性组合得到“向西北方向506公里”。

注释：以下性质有助于判断向量是否线性无关：

• k 个向量要么线性相关，要么线性无关。没有第三种可能。
• 如果向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k 中至少有一个是零向量，则它们是线性相关的。
• 如果两个向量相同，它们也是线性相关的。
• 对于向量集合 \{\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k : \boldsymbol{x}_i \neq \boldsymbol{0}, i = 1, \dots, k\}，其中 k \geq 2，它们是线性相关的当且仅当（至少）其中一个向量是其他向量的线性组合。特别是，如果一个向量是另一个向量的倍数，即 \boldsymbol{x}_i = \lambda \boldsymbol{x}_j，\lambda \in \mathbb{R}，则集合 \{\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k : \boldsymbol{x}_i \neq \boldsymbol{0}, i = 1, \dots, k\} 是线性相关的。

注释：判断向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k \in V 是否线性无关的一个实用方法是使用高斯消元法：将所有向量作为矩阵 A 的列向量，并进行高斯消元法，直到矩阵处于行阶梯形式（简化行阶梯形式在这里是不必要的）：

• 主元列表示的向量是线性无关的。
• 非主元列可以表示为它们左边主元列的线性组合。例如，行阶梯形式
  \

\begin{bmatrix}1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \tag{2.66} 表明第一列和第三列是主元列。第二列是非主元列，因为它等于第一列的三倍。 所有列向量线性无关当且仅当所有列都是主元列。如果至少有一个非主元列，则列向量（因此对应的向量）是线性相关的。

例2.14：考虑 \mathbb{R}^4 中的向量：

为了检查它们是否线性相关，我们采用一般方法，解方程

我们将向量 \boldsymbol{x}_i，i = 1, 2, 3，作为矩阵的列，并应用初等行变换，直到确定主元列：

这里，矩阵的每一列都是主元列。因此，不存在非平凡解，我们要求 \lambda_1 = 0，\lambda_2 = 0，\lambda_3 = 0 才能解这个方程组。因此，向量 \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3 是线性无关的。

注释：考虑一个线性空间 V 和其中的 k 个线性无关的向量 \boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_k ，以及 m 个线性组合：

\boldsymbol{x}_1 = \sum_{i=1}^k \lambda_{i1} \boldsymbol{b}_i, \quad \dots, \quad \boldsymbol{x}_m = \sum_{i=1}^k \lambda_{im} \boldsymbol{b}_i.\tag{2.70}

定义 B = [\boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_k] 为矩阵，其列向量是线性无关的向量 \boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_k ，则可以更紧凑地表示为：

\boldsymbol{x}_j = B \boldsymbol{\lambda}_j, \quad \boldsymbol{\lambda}_j = \begin{bmatrix}\lambda_{1j} \\ \vdots \\ \lambda_{kj}\end{bmatrix}, \quad j = 1, \dots, m,\tag{2.71}

为了测试 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_m 是否线性无关，我们采用一般方法，测试 \sum_{j=1}^m \psi_j \boldsymbol{x}_j = \boldsymbol{0} 。根据(2.71)，我们有：

\sum_{j=1}^m \psi_j \boldsymbol{x}_j = \sum_{j=1}^m \psi_j B \boldsymbol{\lambda}_j = B \sum_{j=1}^m \psi_j \boldsymbol{\lambda}_j.\tag{2.72}

这意味着 \{\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_m\} 线性无关当且仅当列向量 \{\boldsymbol{\lambda}_1, \dots, \boldsymbol{\lambda}_m\} 线性无关。

注释：在线性空间 V 中，m 个线性组合的 k 个向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k 是线性相关的，如果 m > k。

例2.15：考虑一组线性无关的向量 \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3, \boldsymbol{b}_4 \in \mathbb{R}^n 和

向量 \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_4 \in \mathbb{R}^n 是否线性无关？为了回答这个问题，我们需要检查列向量

是否线性无关。对应的线性方程组的系数矩阵为

其简化行阶梯形式为

我们看到对应的线性方程组是非平凡可解的：最后一列不是主元列，且 \boldsymbol{x}_4 = -7\boldsymbol{x}_1 - 15\boldsymbol{x}_2 - 18\boldsymbol{x}_3。因此，\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_4 是线性相关的，因为 \boldsymbol{x}_4 可以表示为 \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3 的线性组合。