3.7函数的内积

3.7 函数的内积

到现在我们了解了内积的各种性质，并利用它们计算有限维向量的长度、夹角和距离。在本节中，我们将看到另一种向量之间的内积：函数的内积。

到此为止我们讨论的所有内积都定义在具有有限个分量的向量之上。我们可以将向量x \in \mathbb{R}^{n}视作有n个取值的函数，这样一来内积的概念可以推广至具有无限个分量（可数无穷）以及连续（不可数无穷）的向量之上。在这样的意义下，原来对不同向量分量的（乘积后）的加和（例如式(3.5)）将变为积分。

两个函数u: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}和v: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}之间的内积可被定义为下面的定积分：

其中积分限满足a, b < \infty。

和通常的内积一样，我们也可以通过内积定义函数的范数和正交关系。如果式(3.37)的结果为零，则两个函数u和v相互正交。如果需要给出更加严格的定义，我们需要考虑测度和积分定义的方式，这将引出Hilbert空间。进一步地，与有限维向量之间的内积不同，函数之间的内积可能发散（值为无穷大）。对上述情形的讨论涉及实分析和泛函分析中的细节，不是本书讨论的内容。

示例 3.9（函数之间的内积）
假如我们令u = \sin(x)，v = \cos(x)，则内积定义(3.37)中的被积函数为f = u(x)v(x)，如图3.38所示。我们发现这个函数是奇函数，也即f(-x) = -f(x)。所以积分限为a=-\pi, b=\pi的定积分的值为零，因此我们可以得到\sin和\cos互相正交的结论。

图3.8 被积函数 f(x) = sin(x)cos(x) 的图像

注释
上述结论对于下面的函数族依然成立：

\{ 1, \cos(x), \cos(2x), \cos(3x), \dots \}, \tag{3.38}

（如果将积分限设置为-\pi和\pi）。换句话说，这个函数族中的函数两两正交，它们张成的巨大空间是所有以区间[-\pi, \pi)为周期的连续函数。将函数向这个子空间上投影是Fourier级数的核心思想。

在6.4.6节，我们还会遇见第二种不常见的内积——随机变量之间的内积。