习题

习题

3.1

证明对所有的 x = [x_1, x_2]^T \in \mathbb{R}^2 和 y = [y_1, y_2]^T \in \mathbb{R}^2 ，如下定义的函数 \langle \cdot, \cdot \rangle 是一个内积。

3.2

考虑带有如下定义之函数 \langle \cdot, \cdot \rangle 的 \mathbb{R}^2 ，此函数是一个内积吗？

3.3

用下列不同的内积定义计算 x 和 y 的距离：

a. \langle x, y \rangle := x^Ty
b. \langle x, y \rangle := x^T A y, A := \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}

3.4

用下列不同的内积定义计算 x 和 y 的夹角：

a. \langle x, y \rangle := x^Ty
b. \langle x, y \rangle := x^T B y, B := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

3.5

考虑装配点积的 Euclid 空间 \mathbb{R}^5 。一个子空间 U \subseteq \mathbb{R}^5 和一个向量 x \in \mathbb{R}^5 如下：

a. 计算 x 到 U 的正交投影 \pi_U(x)
b. 计算 x 到 U 的距离 d(x, U)

3.6

考虑装配有如下内积的 \mathbb{R}^3 ：

记 e_1, e_2, e_3 为 \mathbb{R}^{3} 中的标准基。

a. 计算 \boldsymbol{e}_{2} 至子空间 U = \text{span}\{ \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{3} \} 的投影 \pi_U(e_2)
b. 计算 \boldsymbol{e}_{2} 到 U 的距离 d(\boldsymbol{e}_2, U)
c. 请绘制所有的标准正交基和 d(\boldsymbol{e}_2, U)

提示：正交性是由内积决定的

3.7

令 V 为一线性空间， \pi 是其上的一个自同态。
a. 证明：\pi 是投影变换，当且仅当 \text{id}_V - \pi 是一个投影变换，其中 \text{id}_V 是 V 上的单位同态。
b. 现假设 \pi 是投影变换，计算 \text{Im}(\text{id}_V - \pi) 和 \text{ker}(\text{id}_V - \pi) 作为 \text{Im}(\pi) 和 \text{ker}(\pi) 的函数。

3.8

使用 Gram-Schmidt 正交化方法，将某二维子空间 U \subseteq \mathbb{R}^3 的基 B = (b_1, b_2) 转换为 U 中的标准正交基 C = (c_1, c_2)，其中

3.9

令 n \in \mathbb{N} 同时令 x_1, \ldots, x_n > 0 为 n 个正实数，且满足 x_1 + \ldots + x_n = 1. 使用 Cauchy-Schwartz 不等式证明：
a. \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \geq 1
b. \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i} \geq n^2

提示: 考虑 \mathbb{R}^n 上的内积。然后选择恰当的 x, y \in \mathbb{R}^n。

3.10

将下列向量旋转 30^{\circ}。