4.7矩阵的演化

4.7 矩阵的演化

在第2章和第3章中，我们介绍了线性代数和分析“系统发育”几何学的基础知识。在本章中，我们研究了矩阵和线性映射的基本特性。图4.13描绘了捕捉矩阵和线性映射之间关系的系统发育树（黑色箭头表示个体或“是……的子集”），以及我们可以在这些矩阵上执行的操作（蓝色表示群和派生操作）。我们考虑所有实数矩阵A\in\mathbb{R}^{n\times m}。对于非方阵（其中n\neq m），如本章所见，奇异值分解（SVD）总是存在的。我们专注于方阵A\in\mathbb{R}^{n\times n}，行列式告诉我们一个方阵是否具有逆矩阵，即它是否属于正则、可逆矩阵的类别。如果n\times n方阵具有n个线性独立的特征向量，则该矩阵是“非缺陷的”，并且存在特征分解（定理4.12）。我们知道，重复的特征值可能导致缺陷矩阵，这类矩阵不能对角化。

非奇异矩阵和非缺陷矩阵是不同的。例如，旋转矩阵将是可逆的（行列式不为零），但在实数范围内不可对角化（特征值不一定是实数）。

我们进一步深入探讨非缺陷型方阵n\times n矩阵的分支。如果满足条件A^\top A=AA^\top，则矩阵A是正规的（注：原文中的A^\top A_\top应为A^\top A，且下划线部分应为格式错误，已更正）。此外，如果满足更严格的条件A^\top A=AA^\top=I，则称A为正交矩阵（见定义3.8）。正交矩阵的集合是正则（可逆）矩阵的子集，并满足A^\top=A^{-1}。

正规矩阵中经常遇到的一个子集是对称矩阵S\in\mathbb{R}^{n\times n}，它们满足S=S^\top。对称矩阵只有实数特征值。对称矩阵的一个子集是正定矩阵P，它们满足对于所有x\in\mathbb{R}^n\backslash\{0\}，都有x^\top Px>0。在这种情况下，存在唯一的乔莱斯基分解（定理4.18）。正定矩阵只有正特征值，并且总是可逆的（即行列式不为零）。

对称矩阵的另一个子集是对角矩阵D。对角矩阵在乘法和加法下是封闭的，但不一定形成群（只有当所有对角元素都不为零，从而使矩阵可逆时，才成立）。一个特殊的对角矩阵是单位矩阵I。