4.6矩阵近似

文档摘要

4.6 矩阵近似我们将SVD视为一种将$A=U\Sigma V^\top\in\mathbb{R}^{m\times n}$分解为三个矩阵乘积的方法，其中$U\in\mathbb{R}^{m\times m}$和$V\in\mathbb{R}^{n\times n}$是正交矩阵，而$\Sigma$在其主对角线上包含奇异值。现在，我们不进行完整的SVD分解，而是研究SVD如何允许我们将矩阵$A$表示为更简单（低秩）的矩阵$Ai$之和，这种表示法构成了一种矩阵近似方案，其计算成本低于完整的SVD。我们构造一个秩为1的矩阵$Ai\in\mathbb{R}^{m\times n}$，形式为 $$Ai:=uivi^\top$$ (4.90) 这是由$U$和$V$的第$i$个正交列向量的外积形成的。