05.卷积神经网络CNN

文档摘要

卷积神经网络CNN 卷积 CNN基本原理经典CNN CNN主要应用之前我们介绍了全连接神经网络，它的权重矩阵的参数非常多。而且往往自然图像中的物体都具有局部不变性特征，即尺度缩放、平移、旋转等操作不影响其语义信息，但是全连接前馈网络很难提取这些局部不变特征，这就引出了我们将要介绍的卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，CNN）。卷积神经网络也是一种前馈神经网络，是受到生物学上感受野（感受野主要是指听觉系统、本体感觉系统和视觉系统中神经元的一些性质）的机制而提出的（在视觉神经系统中，一个神经元的感受野是指视网膜上的特定区域，只有这个区域内的刺激才能够激活该神经元）。

卷积神经网络CNN

卷积
CNN基本原理
经典CNN
CNN主要应用

之前我们介绍了全连接神经网络，它的权重矩阵的参数非常多。

而且往往自然图像中的物体都具有局部不变性特征，即尺度缩放、平移、旋转等操作不影响其语义信息，但是全连接前馈网络很难提取这些局部不变特征，这就引出了我们将要介绍的卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，CNN）。

卷积神经网络也是一种前馈神经网络，是受到生物学上感受野（感受野主要是指听觉系统、本体感觉系统和视觉系统中神经元的一些性质）的机制而提出的（在视觉神经系统中，一个神经元的感受野是指视网膜上的特定区域，只有这个区域内的刺激才能够激活该神经元）。

卷积

卷积：(f*g)(n)成为 f 和 g 的卷积，连续卷积和离散卷积可以表达为如下形式：

(f * g)(n)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau) d \tau \\ n = \tau + (n - \tau) \\ (f * g)(n) = \sum_{\tau = -\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau)

卷积有很多应用，经常用于处理一个输入，通过系统产生一个适应需求的输出。

统计学中加权平均法
概率论中两个独立变量之和概率密度的计算
信号处理中的线性系统
物理学的线性系统
图像处理中的应用(卷积神经网络)

卷积经常用在信号处理中，用于计算信号的延迟累积。

例如，假设一个信号发生器每个时刻 t 产生一个信号 x_t ，其信息的衰减率为 w_k ，即在 k−1 个时间步长后，信息为原来的 w_k 倍，假设 w_1 = 1,w_2 = 1/2,w_3 = 1/4，则时刻 t 收到的信号 y_t 为当前时刻产生的信息和以前时刻延迟信息的叠加，即：

\begin{aligned} y_{t} &=1 \times x_{t}+1 / 2 \times x_{t-1}+1 / 4 \times x_{t-2} \\ &=w_{1} \times x_{t}+w_{2} \times x_{t-1}+w_{3} \times x_{t-2} \\ &=\sum_{k=1}^{3} w_{k} \cdot x_{t-k+1} \end{aligned}

其中 w_k 就是滤波器，也就是常说的卷积核 convolution kernel。

给定一个输入信号序列 x 和滤波器 w，卷积的输出为：

y_t = \sum_{k = 1}^{K} w_k x_{t-k+1}

不同的滤波器来提取信号序列中的不同特征：

下面引入滤波器的滑动步长S和零填充P：

卷积的结果按输出长度不同可以分为三类：

窄卷积：步长 = 1 ，两端不补零 = 0 ，卷积后输出长度为 − + 1
宽卷积：步长 = 1 ，两端补零 = − 1 ，卷积后输出长度 + − 1
等宽卷积：步长 = 1 ，两端补零 =( − 1)/2 ，卷积后输出长度

在早期的文献中，卷积一般默认为窄卷积。而目前的文献中，卷积一般默认为等宽卷积。

在图像处理中，图像是以二维矩阵的形式输入到神经网络中，因此我们需要二维卷积。下面给出定义：一个输入信息 X 和滤波器 W 的二维卷积为 Y = W * X，即 y_{ij} = \sum_{u =1}^U \sum_{v = 1}{V}w_{uv}x_{i-u+1,j-v+1} .可以参考下面的算例。

下图直接表示卷积层的映射关系

多个卷积核的情况：下图是表示步长2、filter 3*3 、filter个数6、零填充 1的情形。

几乎很多实际应用都可以对应到这个问题上，都是在做这样一件事

1）输入对应着rgb图片

2）一旦输入的特征图个数是多个，这个时候每一组filter就应该是多个，而这里有两组filter

3）输入是三个特征图，输出为两个特征图，那么我们同样看看每个特征图怎么计算的。

典型的卷积层为3维结构

其他卷积

转置卷积/微步卷积：低维特征映射到高维特征

空洞卷积：为了增加输出单元的感受野，通过给卷积核插入“空洞”来变相地增加其大小。

卷积神经网络基本原理

卷积神经网络的基本结构大致包括：卷积层、激活函数、池化层、全连接层、输出层等。

卷积层

二维卷积运算：给定二维的图像I作为输入，二维卷积核K，卷积运算可表示为 S(i, j)=(I * K)(i, j)=\sum_{m} \sum_{n} I(i-m, j-n) K(m, n)，卷积核需要进行上下翻转和左右反转

\left.S(i, j)=\operatorname{sum}\left(\begin{array}{ccc}I(i-2, j-2) & I(i-2, j-1) & I(i-2, j) \\ I(i-1, j-2) & I(i-1, j-1) & I(i-1, j) \\ I(i, j-2) & I(i, j-1) & I(i, j)\end{array}\right] . *\left[\begin{array}{rll}K(2,2) & K(2,1) & K(2,0) \\ K(1,2) & K(1,1) & K(1,0) \\ K(0,2) & K(0,1) & K(0,0)\end{array}\right]\right)

卷积实际上就是互相关

卷积的步长(stride)：卷积核移动的步长

卷积的模式：Full**,** Same和Valid

数据填充：如果我们有一个 × 的图像，使用× 的卷积核进行卷积操作，在进行卷积操作之前我们在图像周围填充层数据，输出的维度：

感受野：卷积神经网络每一层输出的特征图(featuremap)上的像素点在输入图片上映射的区域大小，即特征图上的一个点对应输入图上的区域。

那么如何计算感受野的大小，可以采用从后往前逐层的计算方法：

第 i 层的感受野大小和第 i - 1 层的卷积核大小和步长有关系，同时也与第 (i - 1)层感受野大小有关
假设最后一层(卷积层或池化层)输出特征图感受野的大小(相对于其直接输入而言)等于卷积核的大小

卷积层的深度(卷积核个数)：一个卷积层通常包含多个尺寸一致的卷积核

激活函数

激活函数是用来加入非线性因素，提高网络表达能力，卷积神经网络中最常用的是ReLU，Sigmoid使用较少。

1. ReLU函数

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x<0 \\ x, x \geq 0\end{array}\right.

ReLU函数的优点：

计算速度快，ReLU函数只有线性关系，比Sigmoid和Tanh要快很多
输入为正数的时候，不存在梯度消失问题

ReLU函数的缺点：

强制性把负值置为0，可能丢掉一些特征
当输入为负数时，权重无法更新，导致“神经元死亡”(学习率不要太大)

2. Parametric ReLU

f(x)=\left\{\begin{array}{l}\alpha x, x<0 \\ x, x \geq 0\end{array}\right.

当 =0.01 时，称作Leaky ReLU
当从高斯分布中随机产生时，称为Randomized ReLU(RReLU)

PReLU函数的优点：

比sigmoid/tanh收敛快
解决了ReLU的“神经元死亡”问题

PReLU函数的缺点：需要再学习一个参数，工作量变大

3. ELU函数

f(x)=\left\{\begin{array}{l}\alpha (e^x-1), x<0 \\ x, x \geq 0\end{array}\right.

ELU函数的优点：

处理含有噪声的数据有优势
更容易收敛

ELU函数的缺点：计算量较大，收敛速度较慢

CNN在卷积层尽量不要使用Sigmoid和Tanh，将导致梯度消失。
首先选用ReLU，使用较小的学习率，以免造成神经元死亡的情况。
如果ReLU失效，考虑使用Leaky ReLU、PReLU、ELU或者Maxout，此时一般情况都可以解决

特征图

浅层卷积层：提取的是图像基本特征，如边缘、方向和纹理等特征
深层卷积层：提取的是图像高阶特征，出现了高层语义模式，如“车轮”、“人脸”等特征

池化层

池化操作使用某位置相邻输出的总体统计特征作为该位置的输出，常用最大池化**(max-pooling)和均值池化(average- pooling)**。

池化层不包含需要训练学习的参数，仅需指定池化操作的核大小、操作步幅以及池化类型。

池化的作用：

减少网络中的参数计算量，从而遏制过拟合
增强网络对输入图像中的小变形、扭曲、平移的鲁棒性(输入里的微小扭曲不会改变池化输出——因为我们在局部邻域已经取了最大值/ 平均值)
帮助我们获得不因尺寸而改变的等效图片表征。这非常有用，因为这样我们就可以探测到图片里的物体，不管它在哪个位置

全连接层

对卷积层和池化层输出的特征图(二维)进行降维
将学到的特征表示映射到样本标记空间的作用

输出层

对于分类问题：使用Softmax函数

y_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{i = 1}^{n}e^{z_i}}

对于回归问题：使用线性函数

y_i = \sum_{m = 1}^{M}w_{im}x_m

卷积神经网络的训练

Step 1：用随机数初始化所有的卷积核和参数/权重

Step 2：将训练图片作为输入，执行前向步骤(卷积， ReLU，池化以及全连接层的前向传播)并计算每个类别的对应输出概率。

Step 3：计算输出层的总误差

Step 4：反向传播算法计算误差相对于所有权重的梯度，并用梯度下降法更新所有的卷积核和参数/权重的值，以使输出误差最小化

注：卷积核个数、卷积核尺寸、网络架构这些参数，是在 Step 1 之前就已经固定的，且不会在训练过程中改变——只有卷积核矩阵和神经元权重会更新。

和多层神经网络一样，卷积神经网络中的参数训练也是使用误差反向传播算法，关于池化层的训练，需要再提一下，是将池化层改为多层神经网络的形式

将卷积层也改为多层神经网络的形式

经典卷积神经网络

1. LeNet-5

LeNet-5由LeCun等人提出于1998年提出，主要进行手写数字识别和英文字母识别。经典的卷积神经网络，LeNet虽小，各模块齐全，是学习 CNN的基础。

参考：http://yann.lecun.com/exdb/lenet/

Y. LeCun, L. Bottou, Y. Bengio, and P. Haffner. Gradient-based learning applied to document recognition. Proceedings of the IEEE, November 1998.

网络结构

输入层：32*32 的图片，也就是相当于1024个神经元

C1层(卷积层)：选择6个 5*5 的卷积核，得到6个大小为32-5+1=28的特征图，也就是神经元的个数为 6*28*28=4704

S2层(下采样层)：每个下抽样节点的4个输入节点求和后取平均(平均池化)，均值乘上一个权重参数加上一个偏置参数作为激活函数的输入，激活函数的输出即是下一层节点的值。池化核大小选择 2*2，得到6个 14*14 大小特征图

C3层(卷积层)：用 5*5的卷积核对S2层输出的特征图进行卷积后，得到6张10*10 新图片，然后将这6张图片相加在一起，然后加一个偏置项b，然后用激活函数进行映射，就可以得到1张 10*10 的特征图。我们希望得到 16 张 10*10 的特征图，因此我们就需要参数个数为 16*(6*(5*5))=16*6*(5*5) 个参数

S4层(下采样层)：对C3的16张 10*10 特征图进行最大池化，池化核大小为2*2，得到16张大小为 5*5 的特征图。神经元个数已经减少为:16*5*5=400

C5层(卷积层)：用 5*5 的卷积核进行卷积，然后我们希望得到120个特征图，特征图大小为5-5+1=1。神经元个数为120（这里实际上是全连接，但是原文还是称之为了卷积层）

F6层(全连接层)：有84个节点，该层的训练参数和连接数都(120+1)* 84=10164

Output层：共有10个节点，分别代表数字0到9，如果节点i的输出值为0，则网络识别的结果是数字i。采用的是径向基函数(RBF)的网络连接方式：

y_i = \sum_j(x-j - w_{ij})^2

总结：卷积核大小、卷积核个数(特征图需要多少个)、池化核大小(采样率多少)这些参数都是变化的，这就是所谓的CNN调参，需要学会根据需要进行不同的选择。

2. AlexNet

AlexNet由Hinton的学生Alex Krizhevsky于2012年提出，获得ImageNet LSVRC-2012(物体识别挑战赛)的冠军，1000个类别120万幅高清图像（Error: 26.2%(2011) →15.3%(2012)），通过AlexNet确定了CNN在计算机视觉领域的王者地位。

参考：A. Krizhevsky, I. Sutskever, and G. Hinton. Imagenet classification with deep convolutional neural networks. In NIPS, 2012.

首次成功应用ReLU作为CNN的激活函数
使用Dropout丢弃部分神元，避免了过拟合
使用重叠MaxPooling(让池化层的步长小于池化核的大小)，一定程度上提升了特征的丰富性
使用CUDA加速训练过程
进行数据增强，原始图像大小为256×256的原始图像中重复截取224×224大小的区域，大幅增加了数据量，大大减轻了过拟合，提升了模型的泛化能力

网络结构

AlexNet可分为8层(池化层未单独算作一层)，包括5个卷积层以及3个全连接层

输入层：AlexNet首先使用大小为224×224×3图像作为输入(后改为227×227×3)

第一层(卷积层)：包含96个大小为11×11的卷积核，卷积步长为4，因此第一层输出大小为55×55×96；然后构建一个核大小为3×3、步长为2的最大池化层进行数据降采样，进而输出大小为27×27×96

第二层(卷积层)：包含256个大小为5×5卷积核，卷积步长为1，同时利用padding保证输出尺寸不变，因此该层输出大小为27×27×256；然后再次通过核大小为3×3、步长为2的最大池化层进行数据降采样，进而输出大小为13×13×256

第三层与第四层(卷积层)：均为卷积核大小为3×3、步长为1的same卷积，共包含384个卷积核，因此两层的输出大小为13×13×384

第五层(卷积层)：同样为卷积核大小为3×3、步长为1的same卷积，但包含256个卷积核，进而输出大小为13×13×256;在数据进入全连接层之前再次通过一个核大小为3×3、步长为2的最大池化层进行数据降采样，数据大小降为6×6×256，并将数据扁平化处理展开为9216个单元

第六层、第七层和第八层(全连接层)：全连接加上Softmax分类器输出1000类的分类结果，有将近6千万个参数

3. VGGNet

VGGNet由牛津大学和DeepMind公司提出

Visual Geometry Group:https://www.robots.ox.ac.uk/~vgg/
DeepMind:https://deepmind.com/

参考：K. Simonyan and A. Zisserman. Very deep convolutional networks for large-scale image recognition. In ICLR, 2015.

比较常用的是VGG-16，结构规整，具有很强的拓展性
相较于AlexNet，VGG-16网络模型中的卷积层均使用 3*3 的卷积核，且均为步长为1的same卷积，池化层均使用 2*2 的池化核，步长为2

网络结构

两个卷积核大小为 3*3 的卷积层串联后的感受野尺寸为 5*5，相当于单个卷积核大小为 5*5 的卷积层
两者参数数量比值为(2*3*3)/(5*5)=72\% ，前者参数量更少
此外，两个的卷积层串联可使用两次ReLU激活函数，而一个卷积层只使用一次

4. Inception Net

Inception Net 是Google公司2014年提出，获得ImageNet LSVRC-2014冠军。文章提出获得高质量模型最保险的做法就是增加模型的深度(层数)或者是其宽度(层核或者神经元数)，采用了22层网络。

Inception四个版本所对应的论文及ILSVRC中的Top-5错误率：

[v1] Going Deeper with Convolutions: 6.67%
[v2] Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training byReducing Internal Covariate Shift: 4.8%
[v3]RethinkingtheInceptionArchitectureforComputerVision:3.5%
[v4] Inception-v4, Inception-ResNet and the Impact of Residual Connections on Learning: 3.08%

Inception Module

深度：层数更深，采用了22层，在不同深度处增加了两个 loss来避免上述提到的梯度消失问题
宽度：Inception Module包含4个分支，在卷积核3x3、5x5 之前、max pooling之后分别加上了1x1的卷积核，起到了降低特征图厚度的作用
- 1×1的卷积的作用：可以跨通道组织信息，来提高网络的表达能力；可以对输出通道进行升维和降维。

5. ResNet

ResNet(Residual Neural Network)，又叫做残差神经网络，是由微软研究院的何凯明等人2015年提出，获得ImageNet ILSVRC 2015比赛冠军，获得CVPR2016最佳论文奖。

随着卷积网络层数的增加，误差的逆传播过程中存在的梯度消失和梯度爆炸问题同样也会导致模型的训练难以进行，甚至会出现随着网络深度的加深，模型在训练集上的训练误差会出现先降低再升高的现象。残差网络的引入则有助于解决梯度消失和梯度爆炸问题。

残差块

ResNet的核心是叫做残差块(Residual block)的小单元，残差块可以视作在标准神经网络基础上加入了跳跃连接(Skip connection)

原连接

a_{l+1} = \sigma(W_{l+1}a_l+b_{l+1}) \\ a_{l+2} = \sigma(W_{l+2}a_{l+1}+b_{l+2})

跳跃连接

a_{l+1} = \sigma(W_{l+1}a_l+b_{l+1}) \\ a_{l+2} = \sigma(W_{l+2}a_{l+1}+b_{l+2}+a_l)

Skip connection的作用

记 u_{l+1} = W_{l+1}a_l+b_{l+1},u_{l+2} = W_{l+2}a_{l+1}+b_{l+2}+a_l = \hat{u}_{l+2} + a_l

我们有：

\begin{align} \frac{\partial E}{\partial w_l} &= \frac{\partial E}{\partial a_{l+2}} \frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}} \frac{\partial u_{l+2}}{\partial w_l} \\ &= \frac{\partial E}{\partial a_{l+2}} \frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}} \frac{\partial \hat{u}_{l+2}}{\partial w_l} + \frac{\partial E}{\partial a_{l+2}} \frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}} \frac{\partial a_l}{\partial w_l} \\ &= \cdots + \frac{\partial E}{\partial a_{l+2}} \frac{\partial a_{l+2}}{\partial u_{l+2}} \frac{\partial a_l}{\partial u_l} \frac{\partial u_{l}}{\partial w_l} \end{align}

6. Densenet

DenseNet中，两个层之间都有直接的连接，因此该网络的直接连接个数为L(L+1)/2。

对于每一层，使用前面所有层的特征映射作为输入，并且使用其自身的特征映射作为所有后续层的输入

参考：Huang, G., Liu, Z., Van Der Maaten, L., & Weinberger, K. Q. (2017). Densely connected convolutional networks. In Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition (pp. 4700- 4708).

5层的稠密块示意图