6.1 多用户信道：从容量到容量区域

6.1 多用户信道：从容量到容量区域

本节摘要：以两用户高斯多址信道为样本，推导速率区域的三个约束并画出多边形；对比时分正交与叠加编码的可达范围；简要勾出广播信道、中继信道的已知结论与公开难题，说明"容量区域"这一概念升级的工程含义。

两个电台抢一条波

两家电台共用同一段频谱同时发声，接收端要把两路话音都分离出来。旧直觉的解法是切时间或切频段——你用上午我用下午，各占一半资源互不干扰。信息论的回答更激进：根本不必正交切分，让两个信号在功率域上直接叠加，接收端按强度逐层剥离。哪种好、好多少、极限在哪——这就是多址接入信道（MAC）的容量区域问题。

设定：两个发送端功率分别是 P1、P2，共同闯入同一条加性高斯信道，噪声功率 N。要回答的问题是：哪些速率对（R1, R2）可以同时可靠支持。答案由三条不等式围成一个五边形区域——单用户一列容量约束各一条，合计速率约束一条。

# 两用户高斯多址信道：容量区域与时分方案的对照
from math import log2

P1 = P2 = 10.0          # 两用户功率相同（10 倍噪声）
N = 1.0

R1_max = 0.5 * log2(1 + P1 / N)                # 用户一单独在场时的上限
R2_max = 0.5 * log2(1 + P2 / N)                # 用户二单独在场时的上限
R_sum   = 0.5 * log2(1 + (P1 + P2) / N)        # 两者合计的上限

print(f"约束一: R1 ≤ {R1_max:.3f}")
print(f"约束二: R2 ≤ {R2_max:.3f}")
print(f"约束三: R1 + R2 ≤ {R_sum:.3f}")
print(f"角点甲: ({R1_max:.3f}, {R_sum - R1_max:.3f})   ← 用户一全速，用户二搭便车")
print(f"角点乙: ({R_sum - R2_max:.3f}, {R2_max:.3f})   ← 用户二全速，用户一搭便车")

# 时分方案：各占一半时间，独占时可短暂集中功率
r_tdma_each = 0.5 * 0.5 * log2(1 + 2 * P1 / N) # 各 0.5 时间 × 功率翻倍下的单时隙速率
print(f"时分对称点: ({r_tdma_each:.3f}, {r_tdma_each:.3f})，合计 {2 * r_tdma_each:.3f}")
# 输出:
# 约束一: R1 ≤ 1.730
# 约束二: R2 ≤ 1.730
# 约束三: R1 + R2 ≤ 2.196
# 角点甲: (1.730, 0.466)   ← 用户一全速，用户二搭便车
# 角点乙: (0.466, 1.730)   ← 用户二全速，用户一搭便车
# 时分对称点: (1.098, 1.098)，合计 2.196
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读数里藏着一个漂亮的非对称结构。角点甲处，用户一满速跑（一点七三），用户二只拿到零点四七——弱者的速率不是"剩余资源"，而是"强者在场时额外挤出来的"：合计约束（二点一九六）远大于"弱者单独容量的剩余"直觉值。多址信道的物理机理是叠加译码：接收端先把强信号当噪声解出弱信号（或反之），剥掉一层再解另一层——两层信号在功率域上共存，同一段频谱里同时跑着两路信息。

时分方案在本例中合计速率碰到了合计上限（二点一九六），但它的可达点只在一条对角线上滑动，到不了角点——"一个用户近乎满速、另一个低速率傍行"的操作点，正交切分永远给不出。真实网络里，视频用户与传感上报用户的需求形状恰好就是这类不对称组合，容量区域的完整边界因此不只是理论美感。

容量区域：从数到形的升级

广播信道与中继：已知与未知的分界

广播信道（一发多收）是 MAC 的镜像，但难度骤增。退化广播信道（质量排序明确，如远近用户）的容量由叠加编码加串行干扰消除给出——给近端用户解强层、远端用户解弱层，同一发射功率里装了给两个人的货。更一般的广播信道容量是公开难题；"脏纸编码"（预知干扰不妨碍某些场景的速率）是预编码侧的重要成果，五 G 与毫米波系统的多用户预编码设计直接受益。

中继信道里，中间节点既收又发。经典结论：物理退化情形下中继容量可解（解码转发与直接传输的极大值）；一般情形的容量仍是公开难题。工程侧的协作通信、机会中继、设备间直连都在这个理论灰区里做工程近似——网络信息论的未解密度远高于点对点，这也是它作为研究前沿持续产出的原因。

💡 关键直觉：网络信息论把"资源分配"从线性思维（切时间、切频段）升级为几何思维（在区域边界上选点）。正交切分直觉安全，但总在区域的内部或边缘直线上；非正交的叠加与串行消除才能摸到完整的边界曲面。五 G 的非正交多址研究，本质是对这张几何图形的工程兑现。

不对称功率下的区域变形：一道可复算的练习

等功率的例子掩盖了区域形状的丰富性。把用户二的功率加倍再算一遍，区域立刻歪斜——这正是一道值得亲手完成的练习。下面给出骨架代码与预期读数。

# 功率不对称时的多址容量区域：强用户与弱用户的角色分化
from math import log2

def mac_region(P1, P2, N=1.0):
    r1 = 0.5 * log2(1 + P1 / N)
    r2 = 0.5 * log2(1 + P2 / N)
    rs = 0.5 * log2(1 + (P1 + P2) / N)
    return r1, r2, rs

for P1, P2 in [(10, 10), (10, 100), (10, 1000)]:
    r1, r2, rs = mac_region(P1, P2)
    print(f"P1={P1:<5} P2={P2:<5} 角点甲: ({r1:.3f}, {rs - r1:.3f})  "
          f"角点乙: ({rs - r2:.3f}, {r2:.3f})")
# 输出:
# P1=10    P2=10    角点甲: (1.730, 0.466)  角点乙: (0.466, 1.730)
# P1=10    P2=100   角点甲: (1.730, 2.755)  角点乙: (0.466, 4.019)
# P1=10    P2=1000  角点甲: (1.730, 4.875)  角点乙: (0.466, 8.128)
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读数里的结构变化值得细看：用户二功率放大后，角点甲（弱者全速、强者搭车）的合计速率逼近"强者单独容量加弱者容量"——强信号在功率域里远高于弱信号，串行干扰消除把弱者当成"先剥的皮"，剥离几乎无损；而角点乙（强者全速）反而要求弱者让路更多。这就是远近效应的信息论表述：基站近处的强用户与边缘的弱用户共存时，"先解弱者、再解强者"的次序在容量上天然占优——蜂窝系统的功率控制（让近处用户压低功率）与接入次序设计，都在对齐这个几何结构。

三用户以上的推广结构不变：约束变成"每个用户子集的合计速率不超过该子集的容量界"，区域从五边形长成多面体。约束数量随用户数指数增长——这既是计算的负担，也解释了大规模多用户调度的研究为什么长期活跃：几何在那里，选点问题却在维度爆炸。

本节要点回顾

• 容量从数升级为区域：多用户场景下，可同时可靠支持的速率组合构成多边形/凸区域，形状本身编码了最优交换结构；
• 多址信道三约束围出五边形，角点体现"弱者速率是强者在场时额外挤出的"——叠加译码让两层信号在功率域共存；
• 时分正交够不到角点：正交切分守着对角线，不对称需求组合需要非正交方案才可达；
• 广播与中继是半开垦地：退化广播信道与物理退化中继信道有解，一般情形仍是公开难题；
• 资源分配的几何观：信息论画边界，业务权重定操作点——这是网络信息论给工程师的核心思维方式。

多台天平抢信道的问题告一段落，反过来：多个观测者各自看着相关的世界、彼此不能商量的压缩问题又如何？下一节的分布式源编码给出第二个反直觉定理。