2.1 因果图与do算子：Pearl框架
2.1 因果图与do算子：Pearl 框架
本节摘要：结构因果模型（SCM）用一组结构方程描述每个变量如何由其父代与外生噪声生成，因果图是它的几何投影；do(X=x) 算子把"干预"形式化为替换结构方程而非条件化。本节讲清 SCM 三元组、do 与观察的差别、截断分解公式，为全册提供代数与几何两套语言。
把因果假设写成方程和图
上一章我们反复说"需要因果假设"，但假设以什么形式书写？Pearl 的答案是结构因果模型。一个 SCM 由三部分组成：外生变量 U（模型之外的因素，充当噪声）、内生变量 V（模型关心其因果关系的变量）、以及每个内生变量对应的一条结构方程——每个变量的取值由其直接原因（图上称为父代）和外生噪声通过确定函数生成。例如：
X ← f_X(U_X)；Y ← f_Y(X, Z, U_Y)；Z ← f_Z(U_Z)
每个方程读作"右端决定左端"，方向性来自"修改右端则左端随之改变，反之不然"这个干预语义。把每个内生变量画成节点、每条方程里的依赖画成有向边，就得到因果图（DAG）。图不是模型的装饰，而是模型的摘要：路径的形状完整决定了后面几章的一切识别规则。
注意两点纪律。第一，DAG 的无环性对应时间与因果的不可逆，反馈系统要靠时间展开处理（见第 2.3 节）。第二，一张 DAG 代表一族 SCM：同一个图可以配任意函数形式与噪声分布——图只声明"谁直接影响谁"，不声明影响的形状。
图：SCM 与因果图的对照
do(X=x)：观察与干预的算术差别
条件化 P(Y|X=x) 是"看到 X=x 的那些个体里 Y 的分布"，筛选的是人群。干预 P(Y|do(X=x)) 是"把所有人的 X 强制设为 x 后 Y 的分布"，改造的是机制。在 SCM 里，do(X=x) 有一个精确到可实现的操作：把 X 的结构方程删掉，换成常数 X=x。这个操作称为图手术（graph surgery）——X 的所有入边被切断，出边保留。
以图中 Z→X、Z→Y、X→Y 为例：Z 同时是 X 的原因和 Y 的原因（混杂）。看到 X=1 时，这个信息沿 Z→X 反向流动，告诉我们"这个人可能 Z 值高"，进而抬高对 Y 的预期——关联路径有两条。而 do(X=1) 切断 Z→X 后，X 的取值不再携带关于 Z 的信息，只剩因果路径 X→Y 一条。两分布之差就是混杂偏倚的大小。
由此得到截断分解公式（truncated factorization）：对 DAG 而言，观测联合分布按链式规则分解为各变量的条件分布 P(V|pa(V)) 之积；干预分布则把被干预变量的那个因子直接删掉、其余保留：
P(Y | do(X=x)) = Σ_z P(Y | X=x, Z=z) · P(Z=z) （本例中 Z 是 X 的父代集的情形）
注意右端全部是观测分布的函数——这就是"识别"的最小样板：干预量被化归为可观测量的组合。第 3 章的后门准则只是这个样板在任意 DAG 上的推广。
do 算子落地：一个可跑的概念演示
DoWhy 库的识别步骤就是把上述图手术自动化。概念代码如下（示意流程，非完整工程代码）：
# 概念演示：把观察查询与干预查询在同一个 SCM 上对比 import numpy as np rng = np.random.default_rng(7) n = 200_000 Z = rng.normal(0, 1, n) # 混杂因子：总体健康素质 X = (0.8 * Z + rng.normal(0, 1, n) > 0).astype(int) # 健康素质高的人更倾向接受处理 Y = 1.5 * X + 2.0 * Z + rng.normal(0, 1, n) # 真实因果系数 1.5 # 观察查询：P(Y | X=1) - P(Y | X=0)，含混杂偏倚 obs = Y[X == 1].mean() - Y[X == 0].mean() # 干预查询：do(X=1) vs do(X=0)，直接改数据生成机制重采样 Z2 = rng.normal(0, 1, n) X1 = np.ones(n); X0 = np.zeros(n) do_eff = (1.5 * X1 + 2.0 * Z2).mean() - (1.5 * X0 + 2.0 * Z2).mean() print(round(obs, 2), round(do_eff, 2)) # 典型输出约：2.90 与 1.50 —— 观察差被混杂抬高近一倍
这个演示的价值在于把两件事钉死：观察差的偏倚方向与大小由 Z 的两条边共同决定；一旦能做图手术（无论靠实验还是靠识别公式），干预效应就回到真值。真实场景里我们没有生成器，"重采样"必须换成第 3 章的调整公式——识别理论研究的正是哪些图形状下这种替换合法。
概念自查
⚠️ 最常见的错误是把 do(X=x) 当成"筛选 X=x 的子样本再分布"。前者切断入边，后者保留入边。凡是不切断 X 与其原因之间关联的做法，得到的都是条件分布而非干预分布。
三个自查问题。给定图 Z→X→Y（链），do(X=x) 后 Y 的分布等于 P(Y|X=x) 吗？——相等，因为 X 没有其他入边，切断与保留无差别，这正是随机实验的图解释。给定图 X→Z→Y，控制 Z 之后 X 对 Y 还有效应吗？——没有中介路径之外的路径时效应归零，Z 是中介而非混杂。若在上述链上再添一条 Z→W→Y 呢？——仍无后门，结论不变。能在脑内快速回答这类问题，说明图语言已经开始工作；不能，就该回到本节的图手术定义再读一遍。
FAQ：SCM 与回归的三点差别
问题：结构方程和回归方程是一回事吗？
不是。回归 Y 对 X 是条件期望的拟合，"Y = aX + e"里 e 是残差（定义上与 X 无关）；结构方程 Y ← bX + U 里 U 是外生原因，允许与 X 的其他原因相关。差别在干预下的行为：改写结构方程（干预）后其余方程保持不变，回归方程没有这个"模块化"性质。这个差别正是"卢卡斯批判"的因果版本——政策改变了机制，历史回归关系随之作废。
问题：图的边一定意味着"直接因果"吗？
边表示"在模型内其他变量保持固定时"的直接依赖。"直接"是相对于变量集的：模型里没放中间变量时，一条边可能汇总了多层传导。所以读图时应先问变量集的粒度，再谈直接与否——这也是因果发现（第 6 章）输出只能到等价类的原因之一。
问题：do 算子能作用于连续变量吗？
能。do(X=x) 对任意取值 x 有定义，干预分布 P(Y|do(X=x)) 关于 x 的函数就是剂量反应曲线（第 5.3 节）。三规则与截断分解对连续情形同样成立，只是积分替代求和。
本节要点回顾
- SCM 三元组：外生噪声、内生变量、结构方程；因果图是其几何投影，声明"谁直接决定谁"。
- do 的定义：删除被干预变量的结构方程并置为常数，即图手术——切其入边、留其出边。
- 截断分解：干预分布 = 观测链式分解去掉被干预因子，是识别的最小样板。
- 观察与干预的算术差：条件化筛选人群，干预改造机制；两者只在无入边（或已阻断）时重合。
- 下一节：读懂任意 DAG 的基本功——链、分叉、对撞三型结构与 d 分离。