6.3 其他科学计算领域

6.3 其他科学计算领域

JuMP 做优化、Makie 做交互图、Graphs 做图论、Symbolics 做符号计算——这些领域库不如前两节的常青，但一旦撞上对应问题，它们就是唯一答案。本节每个库给一个能跑的最小例子，建索引备查。

JuMP：把优化问题写成数学的样子

线性规划示例：工厂决定两种产品产量，最大化利润：

] add JuMP HiGHS

using JuMP, HiGHS

model = Model(HiGHS.Optimizer)
@variable(model, x1 >= 0)        # 产品1 产量
@variable(model, x2 >= 0)        # 产品2 产量
@constraint(model, 2x1 + x2 <= 100)    # 工时限制
@constraint(model, x1 + 3x2 <= 90)     # 材料限制
@objective(model, Max, 3x1 + 5x2)      # 利润最大化

optimize!(model)
value(x1), value(x2), objective_value(model)   # 最优解
​

@variable / @constraint / @objective 三个宏让代码几乎与数学式一一对应——第 3 章的宏知识在这里兑现成生产力。换个求解器（Gurobi、Ipopt）只改一个构造参数。

Makie：为交互与 publication 质量而生

Plots 够用但交互弱，Makie 面向可缩放、可动画的图：

] add GLMakie

using GLMakie

fig = Figure()
ax = Axis(fig[1, 1], title = "等高线", xlabel = "x", ylabel = "y")
xs = range(-2, 2, length = 100)
contour!(ax, xs, xs, (x, y) -> exp(-(x^2 + y^2)))
display(fig)
​

滚动缩放、拖动平移是默认行为；做参数扫描动画时它的 Observable 机制一行刷新图形。

Graphs 与 Symbolics 各一行

] add Graphs Symbolics

using Graphs
g = SimpleGraph(5)
add_edge!(g, 1, 2); add_edge!(g, 2, 3); add_edge!(g, 3, 1)
dijkstra_shortest_paths(g, 1)     # 最短路径
​

Symbolics 正确用法：

@variables x y
expand((x + y)^3)
Dx = Differential(x)
Dx(x^2 + y^2) |> simplify        # 2x，符号求导
​

领域库速查表

💡 关键直觉：Julia 生态的核心卖点不是"库多"，而是"库底层都是 Julia 写的"。出问题时可以一路 @descend 进库源码调试，这在调用 C 扩展的生态里不可想象。

⚠️ 常见坑：不同 Makie 后端（GLMakie/CairoMakie/WGLMakie）不能混装在同一环境同时显示，脚本出图用 Cairo，交互探索用 GL，按项目切换。

案例：把 JuMP 的线性规划升级成敏感性分析

背景：6.3 开头的工厂利润问题解出最优解只是第一步，管理层真正的问题是"工时再买 10 小时值不值"。这要用对偶价格——约束每放宽一单位，目标改善多少。操作：

using JuMP, HiGHS

model = Model(HiGHS.Optimizer)
@variable(model, x1 >= 0)
@variable(model, x2 >= 0)
@constraint(model, labor, 2x1 + x2 <= 100)     # 给约束起名
@constraint(model, mat, x1 + 3x2 <= 90)
@objective(model, Max, 3x1 + 5x2)
optimize!(model)

println("最优产量: ", round.(value.([x1, x2]); digits=2))
println("工时影子价格: ", round(shadow_price(labor); digits=3))
# 影子价格为正 → 每增 1 工时利润上升该数值；为 0 → 该约束不紧
​

解读：影子价格把"约束松紧"翻译成钱。工时约束若影子价格为 2，意味着外购工时单价低于 2 就值得买——决策信息直接从模型里长出来。变式：把目标系数微调 5% 重解一遍看解是否跳到另一个顶点，这就是最粗糙但最实用的灵敏度分析；再进一步，对参数区间批量求解并画利润曲线，JuMP 宏建模的简洁性让这种"批量重解"几乎零额外成本。

Symbolics 的实战位：自动推导再生成代码

Symbolics 最值钱的用法不是手推代数，而是"推导→生成代码→高速执行"三连。例如对方程右端做符号微分再转成 Julia 函数：

using Symbolics

@variables t k c
@variables u(t)
# 把 6.1 的振子右端符号化后求雅可比，自动线性化
rhs = -k * u
D = Differential(t)
expand_derivatives(D(rhs))          # -k*u，链式法则自动执行
​

工程意义：非线性系统的稳定性分析、自动微分训练网络、生成 C/Fortran 代码嵌进旧框架，底座都是这套符号操作。它与 3.3 元编程的关系值得点一句——Symbolics 生成代码用的正是表达式与宏那一套，学到此处，前六章的知识线全部接上了。

本节要点回顾

• JuMP 三宏：变量、约束、目标，代码即数学；
• Makie 交互强、Plots 上手快，按需求分层使用；
• Graphs / Symbolics 各一行入门，遇到对应问题知道门在哪；
• 纯 Julia 库栈的可调试性是选择 Julia 生态的长期理由。