5.2 推断性统计：从样本推案情

5.2 推断性统计：从样本推案情

本节摘要：推断统计回答"样本上的差异能不能推广到总体"。本节走完假设检验全流程：设置原假设、理解标准误与 t 统计量、配对与独立设计的分岔、读解 t.test 输出，最后用"效应量加置信区间"的格式写下结案陈述。

信号与噪声的比值

10 个人、两药、平均差 1.58 小时。这个差是信号，但样本有随机波动（噪声）。t 统计量的本质就是一个比值：

t =（观测到的均值差）÷（这种差异纯粹由抽样运气造成的典型幅度）
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分母的名字叫标准误。它与标准差的区别是全章最重要的概念分界：标准差描述样本内部的分散；标准误描述"重复抽样时统计量本身的波动"。样本量翻四倍，标准误减半——这就是为什么大样本能把小差异检验出来。

检验逻辑链

设计分岔：配对还是独立

sleep 数据的 10 名受试者每人各试两药——这是配对设计，同一个人的两次观测天然可比，检验对象是"每人前后之差"：

# 配对 t 检验：paired 参数是关键
t.test(extra ~ group, data = sleep, paired = TRUE)
​

输出要点逐行读：

mean of the differences: 1.58        # 效应量：平均差 1.58 小时
t = 4.0621, df = 9                    # 信号噪声比 4.06，配对后自由度 9
p-value = 0.002833                    # 若两药等效，见到此差异的概率约千分之三
95 percent confidence interval:       # 真实差异的合理范围
 0.8997642 2.2617425
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若误用独立样本检验（paired 缺省为 FALSE），把同一个人的两次观测当两个没关系的样本，个体差异被算进噪声，t 值缩水、p 值变大——设计认错，证据强度白打折。这正是分岔的代价。

# 对照：误当独立样本的后果
t.test(extra ~ group, data = sleep)   # t 明显变小，p 变大
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结案陈述的正确格式

结案：两药睡眠增量差 1.58 小时（配对 t 检验，t 等于 4.06，自由度 9，p 约 0.003），95% 置信区间 0.90 至 2.26 小时，不含零。结论：药物效果差异有统计学意义，且幅度在 1 至 2 小时量级。

三个要素一个不能少：统计量加 p 值（证据强度）、效应量（差异多大）、置信区间（不确定性范围）。只报"p 小于 0.05，显著"是残缺的结案词。

⚠️ 常见坑：把"p 等于 0.06"读成"无效"。p 值偏大只说明证据不足以拒绝原假设，不证明两药等效；同理 p 极小也不代表差异在业务上重要——一百万样本能把 0.01 小时的差异也检验"显著"。统计显著与实践重要是两码事。

手算一遍 t：把黑箱拆开

t.test 一行出结果，但"信号除以噪声"到底怎么算，值得亲手拆一次。配对设计的对象是每人的前后差：

# 第一步：构造配对差——同一受试者的两次观测相减
wide <- data.frame(
  drug1 = sleep$extra[sleep$group == 1],
  drug2 = sleep$extra[sleep$group == 2]
)
wide$diff <- wide$drug2 - wide$drug1

# 第二步：三个零件
d_bar <- mean(wide$diff)              # 平均差（信号）
s_d   <- sd(wide$diff)               # 差值的标准差
n     <- nrow(wide)                  # 配对数
se    <- s_d / sqrt(n)               # 标准误（噪声）

# 第三步：组装 t 并与 t.test 对照
t_manual <- d_bar / se
t_manual                                  # 约 4.06
t.test(wide$diff)$statistic               # 一样——黑箱拆开就是这样
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看清三件事：配对检验的自由度是 9（对子数减一），不是 18；标准误随样本量平方根收缩，10 对变 40 对，噪声减半；t.test 里那个默认区间 95% 对应着 t 分布双侧 0.025 分位点，换成 conf.level = 0.99 区间会放宽。

前提检查与非参数备胎

t 检验的前提是"差值近似正态"。小样本下这个前提需要检查，不满足时换非参数检验：

# 正态性检查：直方图加 Shapiro 检验
hist(wide$diff)
shapiro.test(wide$diff)
# p 大于 0.05 → 不拒绝正态假设，t 检验可用

# 备胎：Wilcoxon 符号秩检验，不要求正态
wilcox.test(wide$diff)
​

Wilcoxon 对的是"差值的中位数是否为零"，报告时要相应改口。选择顺序是规矩：设计定方法（配对 对 独立），分布定家族（参数 对 非参数），顺序不能倒。

多重比较：一次越界的代价

如果同一样本上连做二十次检验，即使全无真实差异，也几乎必然撞出一两个"显著"。这就是多重比较问题，处方是校正：

p_raw <- c(0.012, 0.031, 0.048, 0.20, 0.33)   # 五个问题各检一次
p.adjust(p_raw, method = "bonferroni")        # 阈值除以 5，从严
p.adjust(p_raw, method = "BH")                # 控错误发现率，较温和
​

原始 p 值 0.012 经 Bonferroni 校正后变 0.06，不再显著——结论当场改写。凡是"一口气检验很多组"的场景（第 2 章 32 组生还率对比若要逐一检验就会撞上），必须带着校正读结果。

本节要点回顾

• 标准差对样本内、标准误对统计量：概念分界线
• t 是信号噪声比：分母是抽样波动的典型幅度
• 配对与独立设计：paired 参数一错，证据强度打折
• 三要素结案：检验统计量、效应量、置信区间
• p 大不等于无效、p 小不等于重要：两个方向都别越界

再补一条与上一章的呼应：可视化负责"看见差异"，检验负责"给差异定罪"，两者顺序不可颠倒——先看图再检验，图会告诉你该检验什么（组差？趋势？）；只检验不看图，前提被违反了都浑然不觉。本章与第 4 章合起来，才是一套完整的定量推理装备。