7.1 声速与马赫数

7.1 声速与马赫数

本节摘要：声速是微弱压强扰动的传播速度，只由温度决定：a = √(γRT)，海平面约 340 m/s。马赫数（流速与声速之比）由此成为可压缩流动的总参数——它不只是"快慢"，更决定了扰动传播的几何（马赫锥）与方程的数学性格（椭圆还是双曲）。本节把这两个量的物理身份立稳。

第 1 章把马赫数介绍为"可压缩性的开关"，第 4 章用它画了不可压假设的边界。现在流速本身追上声速，这个数要升级成主角。

声速：压强消息的传播速度

在气流中轻轻拍一下（制造一个微弱压强扰动），这个扰动以波的形式向外传播。对这层薄波用控制体账目（质量与动量守恒，波动过程快到热量来不及交换，视为等熵），解出一个优美的结果：

a = √(γ·R·T)
  γ = 1.4（空气定压定容比热比），R = 287 J/(kg·K)
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声速只依赖温度：海平面 288 K 时 a ≈ 340 m/s；10 公里高空 T = 223 K，a ≈ 300 m/s；20 公里高空约 295 m/s。同一架飞机保持相同真速，高空马赫数更大——民航巡航报告的参数是 Ma 而不是风速，根源在此。公式里没有压强，因为声波是"密度变化与压强变化同比例"的微小振荡，比例系数（声阻抗）被根号消化掉了。

马赫角：消息的传播锥

流动以速度 V 前进时，某点在 t 时刻发出的扰动球面，到 t+Δt 时刻已长成半径 aΔt 的球，但扰动源自己前进了 VΔt。画连串球面会看到三种格局：

• 亚声速（V < a）：球面一环套一环地超过扰动源，扰动"包围"全场——下游能影响上游，压强场连续平滑，方程是椭圆型，4 章的势流方法仍好使。
• 声速（V = a）：球面与扰动源并排，扰动堆积在源点——声速线是流场的分水岭。
• 超声速（V > a）：球面全部落在身后，扰动被限制在以源为顶点、向后张开的圆锥内——马赫锥，半角满足 sinμ = 1/Ma。Ma = 2.0 时 μ ≈ 30°。锥外的世界收不到任何消息：超声速飞机从头顶掠过，你要等它飞过之后才听见——不是它安静，是消息被锥在了身后。

这个几何差异直接改变方程性格：超声速流动的方程是双曲型，存在特征线（沿马赫锥方向的"消息通道"），6 章那种"全场联动的椭圆型"解法作废，取而代之的是逐波分析的思路。

流域四分区与各自的工具箱

跨声速是四个区里最麻烦的：同一架飞机上，机翼某些截面已超声速、某些还在亚声速，椭圆与双曲两种数学性格同场竞技，局部激波与边界层干扰随时引发抖振——民航客机巡航卡在 Ma 0.78 到 0.85 之间，是被"阻力发散"（后面 7.4 节讲）逼出来的经济最优，不是发动机推不动。

动手算：给一次巡航定位

民航客机在 10 公里高空（T = 223 K）以真空速 850 km/h（约 236 m/s）巡航：

import math
R, gamma, T = 287.0, 1.4, 223.0
a = math.sqrt(gamma * R * T)     # 约 299.3 m/s
V = 850 / 3.6                    # 236.1 m/s
print(a, V / a)                  # Ma ≈ 0.789 —— 典型高亚声速巡航
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Ma 0.79 落在亚声速区尾部、贴近跨声速门槛——机翼上表面局部流速可达来流的一点三倍，当地马赫数已过 1，局部激波正在机翼上待命。这架飞机的机翼必须是"跨声速友好"的构型（后掠 + 超临界翼型），否则阻力发散会吃掉全部经济性。一个马赫数定位，直接锁定了机翼设计的整套约束——这就是"总参数"的含义。

高温天为什么飞机"变笨重"：一条马赫数的连锁反应

把本章参数串进一个生活可感的场景。盛夏午后机场气温 40 摄氏度（313 K）比标准日高 25 K：声速升到约 355 m/s；同一真空速下马赫数变小、密度却降了约 8%；发动机进气质量流量同步缩水，推力跟着掉。三件事叠加：起飞滑跑更长、爬升梯度更缓、巡航高度选择更受限。运行手册里的"高温高度限制"、高高原机场（拉萨、昆明一带）的时刻表设计，背后全是状态方程加声速公式这两行。参数不是孤立刻度，是连锁反应的起点——这是可压缩流动教给系统工程师的第一课。

问题：马赫数一样的两架飞机，流动真的相同吗？

对空气动力学而言，基本相同——这正是马赫数作为"总参数"的含义：同样的 Ma 与雷诺数组合下，压强系数分布、激波位置几乎一样，与飞机在哪、多快、多高无关。差异来自非理想因素：比热比（温度极高时气体分子振动自由度激活，γ 不再是 1.4）、真实气体效应（高超声速离解）、水汽凝结（高亚声速巡航的凝结尾迹）。日常亚声速与超声速范围内，"马赫数对齐即流动相似"是可靠的工程共识。

问题：为什么航空发动机的压气机要分级，不能用一级把空气压到位？

每级叶尖的相对马赫数有限度：超太多，激波损失与分离一起上门。压气机把大压缩比拆成十几级，每级只承担一点点压比，让每一排叶片都工作在可接受的马赫数窗口里——这与 7.3 节"拆大波为小波"、进气道多斜面接力压缩是同一个设计哲学在三个部件上的应用：可压缩世界里，猛烈的过程都要分期付款。

问题：马赫数的“当地”二字到底有多重要？

它是跨声速一切麻烦的源头。来流 Ma 0.8 的飞机，上表面局部流速很容易被加速到来流的一点三倍，当地马赫数超过 1，激波就在那里驻扎；同一架飞机的机身腹部可能仍是干净的亚声速。设计、试验、CFD 都必须按“当地马赫数场”而非单一来流值来判断状态——这也是为什么跨声速风洞报告总附一张等马赫线云图。

本节要点

• 声速 a = √(γRT)，只由温度决定，随海拔下降；报告巡航状态用马赫数而非真速。
• 马赫锥：超声速扰动的传播边界，sinμ = 1/Ma；锥外收不到消息，声爆因此有几何。
• 流域分区改变方程性格：亚声速椭圆、超声速双曲、跨声速混合——工具箱跟着换。
• 跨声速最难分析，民航巡航 Ma 0.78~0.85 是阻力发散逼出的经济最优。

流域划好了。先在"最简单的一维"里看看可压缩流动如何与截面积博弈——等熵管流登场。