2.2 离散时间系统建模

2.2 离散时间系统建模

本节摘要：数字控制器只在采样瞬间感知世界、在每个控制周期更新一次输出，这类行为由差分方程与采样时间刻画。本节讲清离散系统的三个基本量——采样周期、离散状态与离散传递函数，对比"连续设计后离散化"与"直接离散化设计"两条路线的取舍，并用一个 PI 控制器的完整建模过程演示两者的差异。承接 2.1 节的连续建模，本节之后你的框图就能同时容纳电机的"连续"与控制器的"离散"。

控制器眼里的时间不是连续的

2.1 节的电机转速在物理时间里连续变化，但驱动它的数字控制器每一毫秒才"睁一次眼"：读一次转速采样、算一次 PI、更新一次 PWM 占空比，然后"闭眼"等待下一个周期。两次采样之间控制器对外部世界一无所知。这个行为写进数学就是差分方程：当前输出等于上一拍输出加一个与当前及历史误差有关的增量；写进框图就是带采样时间的模块——单位延迟、离散积分器、离散传递函数，它们共享同一个关键属性：只在采样瞬间更新，其余时间保持。

采样时间是离散建模的第一参数，它同时决定三件事：控制算法的行为（延迟多少、能抑制多快的扰动）、模型与实物代码的一致性（代码里的定时器就是这个周期）、以及仿真计算量（周期越密步数越多）。选周期的工程折中：太疏，相位滞后吃掉稳定裕度；太密，处理器算不过来还放大量化噪声。常见起步值是闭环带宽对应周期的十分之一到二十分之一，再用仿真核对相位裕度。

离散模块的语义：状态只在节拍上跳动

单位延迟模块是离散域的积分器类比物：它输出上一拍的输入值。每个单位延迟或离散积分器持有一个离散状态，这个状态在采样时刻到来时瞬间跳变，两次跳变之间严格保持。这与连续积分器"时刻都在爬"的行为形成鲜明对比——混域系统（下一节的主角）的全部难点都源于这两种时间观在同一个模型里并存。

在框图里指定离散属性有两种粒度：给每个离散模块单独设采样时间，或者只给少数关键模块设置、让其余模块继承。继承规则用多了模型会变成谜语，推荐折中：关键速率显式设置，同速率的下游模块继承，整图的速率图定期用采样时间图例（1.2 节的颜色系统）检查一遍。

% 连续 PI 与离散 PI 的对照：同一个控制器，两种来历
Kp = 1.2; Ki = 8;

% 路线一：连续设计后离散化（模拟控制器时代的手法）
Cc = pid(Kp, Ki);                       % 连续 PI
Ts = 1e-3;                              % 控制周期 1 kHz
Cd1 = c2d(Cc, Ts, 'tustin');            % 双线性变换离散化
% 得到离散传函：积分项带一个单位延迟

% 路线二：直接离散化设计（按采样序列直接推差分方程）
Cd2 = pid(Kp, Ki*Ts, 0, Ts, 'ts', Ts);  % 位置式：积分用前向欧拉近似
% 差分形式：u(k) = u(k-1) + Kp*(e(k)-e(k-1)) + Ki*Ts*e(k)

% 两者在同一被控对象上闭环对比
G = tf(50, [0.02 1]);                   % 简化的一阶对象
T1 = feedback(Cd1*G, 1);  T2 = feedback(Cd2*G, 1);
step(T1, T2, 0.3);                      % 两条曲线：上升快慢与超调差异可见
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图：连续设计离散化与直接离散化的路线对比

两条路线的取舍

路线一（连续设计后离散化） 继承了模拟控制时代的方法论：先把控制器当连续系统设计到满意，再用变换把传递函数搬到 z 域。优点是设计工具成熟、频域指标直接；缺点是离散化这一步总会引入偏差，采样周期一旦偏大，实际性能与设计指标脱节，而且模型里的控制器与将来代码里的实现隔着一层转换，一致性验证要多做一步。

路线二（直接离散化设计） 从一开始就把控制器当作采样序列上的差分方程：周期、延迟、定点量化、抗积分饱和全部作为设计对象显式处理。MBD 项目里它有决定性优势——模型与代码的对应关系是逐行的，软件在环验证（第 7 章）时不存在"模型行为与代码行为天生就该有点不一样"的托词。代价是设计直觉要重新建立，连续域的频域经验不能直接照搬。

工程上两条路线经常混合：内环电流环用路线一快速起步（它周期极短、动态要求苛刻但结构简单），外环速度环与监控逻辑用路线二精修。无论哪条路线，建模完成后做一件事：给控制器模块的采样时间做一次全图核对，确认它与目标处理器的定时器配置一致——模型与实物周期不一致，是一切"仿真很好、上机变味"问题的头号来源。

⚠️ 常见坑：在离散控制器框图里误用了连续积分器。症状是采样时间图例上控制器区域被染成连续色，代码生成时该模块无法落到离散执行框架。养成习惯：从离散模块库里拖每一个模块，拖完看一眼图标上的时钟标记。

延伸：延迟是离散系统的第一公民

连续世界里延迟常常小到可以忽略，离散世界里它无处不在且必须显式面对：采样要花一拍、计算要花一拍、执行器响应再花半拍——每个控制周期里，控制器实际是在用"一到两拍之前"的转速信息做决策。相位裕度对此极其敏感：1 毫秒周期下一拍的延迟，在 50 赫兹带宽处就吃掉约十八度相位。建模时把延迟真实地写出来（在反馈通路加单位延迟，或在离散传函里保留该有的延迟因子），仿真才能复现真实闭环的相位关系。

一个实用的核对方法：数一遍从"采样时刻"到"输出生效时刻"之间的节拍数，与目标处理器任务链的实际耗时对表——采样、滤波、运算、输出锁存，每段各有几拍，模型里就应有几拍。这个"延迟对表"是本节一致性铁律的细化：周期一致只是底线，相位链一致才算齐。实测中大量"仿真稳、上机震荡"的案例，追到最后都是模型里少了一拍延迟。抗积分饱和也在此顺带强调：限幅与积分器直接串联会把超调放大成振荡，模型阶段就把抗饱和结构（反算法或条件积分）建进去，代码生成后行为才不会变味。

本节要点回顾

• 离散三要素：采样周期、离散状态、差分方程；离散模块只在节拍上更新并保持；
• 采样时间一石三鸟：决定控制行为、代码定时器与仿真计算量，是离散建模的第一参数；
• 单位延迟类比积分器：它是离散域的状态载体，混域建模的难点源于两种时间观并存；
• 路线取舍：路线一继承频域经验但隔一层转换，路线二模型即代码、落地一致性最好；
• 继承要克制：关键速率显式、下游继承，定期用采样时间图例全图核对；
• 一致性铁律：模型里的控制周期必须与目标处理器定时器一致，否则仿真结果不可迁移。

控制器与对象现在分属两个时间世界，把它们拼进同一张框图时会发生什么？下一节专门处理连续与离散的交界地带。