3.4 格林函数：点源响应的通用语言

3.4 格林函数：点源响应的通用语言

前三节每换一条方程就换一套手推流程，本节给出把椭圆问题一网打尽的视角：先把"最简单的源"——一个点的源——的响应解干净，再用叠加把一般源拼出来。响应函数就是格林函数，1828 年格林在自费出版的小册子里提出它时，这一思想已经预支了线性系统理论的全部哲学：知道脉冲响应，就知道了系统对一切输入的回答。它与 2.4 节的德尔塔语义会师，也把 3.3 的泊松积分收编为特例。

先把最简单的源解干净

考虑带源项的泊松方程 −Δu = f（区域 Ω 内，零狄利克雷边界）。f 是"热量产生率"，可以千变万化。格林的策略是把 f 切成点的集合：对每个固定点 y，解

−Δ_x·G(x, y) = δ(x − y)，G 在边界上取零。

解 G(x, y) 的物理身份是：在 y 点安放单位点热源，x 点测得的温度。点源在 2.4 节已获得严格身份（德尔塔分布），所以这条方程在弱意义下完全合法——解在源点外光滑调和，源点处奇异（这正是"点源"该有的样子）。一旦 G 已知，一般源的解由叠加写出：

u(x) = ∫ Ω G(x, y)·f(y) dy（加边界数据对应的项）。

推导只需把方程乘以 G 与 u 各一次、相减、分部积分——德尔塔把一个积分收缩成取值，边界项由 G 的零边界吸收。推导本身是 2.4 节弱语言的一次完整应用：三次"乘检验函数再积分"，换来的却是整个椭圆理论的表示公式。

格林函数携带两条基本性质，都是直接的物理翻译。对称性 G(x, y) = G(y, x)：y 处的热源在 x 处引起的温度，等于 x 处的同源在 y 处引起的温度——互易原理，声学与电路里同款。正性：零边值下 G 处处非负——点源只会升温不会降温。这两条性质在数值上都能直接验收，本节实验就会这么做。

基本解与镜像法：两类显式格林函数

全空间（无边值约束）的点源解叫基本解，维度决定长相：一维是 −|x|/2（斜坡拼接）；二维是 (1/2π)·ln(1/r)（对数奇异）；三维是 1/(4πr)（库仑势）。静电学的全部 familiar 结论——点电荷势、对数势——都是基本解的别名。基本解只管全空间，带边值的区域怎么办？镜像法用对称性补齐：上半平面 y 大于零、边界零值，把源点 y 关于边界翻折到镜像点 y*，取

G(x, y) = (1/2π)·ln( |x − y*| / |x − y| )。

x 落在边界上时源与镜像等距、比值为一、对数为零——边界条件自动满足。一行构造拿下半平面。3.3 节的圆盘同款：镜像点做反演，级数求和后收敛为泊松核——泊松积分公式就是圆盘的狄利克雷格林函数与边界数据的卷积，三节推导在此汇成一句话。

图解：点源、镜像与响应

镜像法与点源响应示意

数值实验：把格林矩阵造出来亲手摸

离散化把格林函数变成格林矩阵：对一维泊松方程 −u'' = f、区间零边值，二阶差分给出三对角线性系统，其逆矩阵的每一列就是离散点源响应——直接求逆即可逐列"摸到"格林函数。三维点源问题太大，一维与二维小网格足够说明问题。

import numpy as np

# 一维：-u'' = f, u(0)=u(1)=0, n 个内点
n = 20
A = (np.diag(2*np.ones(n)) + np.diag(-np.ones(n-1), 1)
                              + np.diag(-np.ones(n-1), -1)) * (n+1)**2
G = np.linalg.inv(A)

print("对称性最大偏差:", np.abs(G - G.T).max())        # 应为机器精度级
print("最小元素:", G.min())                            # 应非负（正性）
x = np.linspace(0, 1, n+2)[1:-1]
y = 0.3
j = np.argmin(np.abs(x - y))
print("数值 G(:,y):", np.round(G[:,j], 4))
print("解析格林函数:", np.round(np.minimum(x, y)*np.maximum(1-x, 1-y), 4))
​

输出里对称性偏差在机器精度、最小元素非负；数值第 j 列与解析格林函数 G(x,y) = min(x,y)·max(1−x,1−y) 逐点吻合（二阶差分的 O(dx²) 误差内）。矩阵求逆这个朴素动作，在这里变成了"把解析格林函数整根拎出来看"——离散与解析在列向量层面逐点对表，这是全章互证纪律最直观的一次。

二维版本只需把 A 换成二维五点差分拉普拉斯的稀疏矩阵，用稀疏求解器逐列解单位向量右端。工程上从不显式存格林矩阵（n 大时内存爆炸），但"每一列是一个点源响应"的图景解释了为什么椭圆问题的解算矩阵 dense 且全局耦合——2.2 节"边界一变全域皆变"的性格，在矩阵结构里看得见。

格林函数视角的红利

最后把这本"通用语言"能兑换的东西清点一遍。积分方程视角：带边值的 PDE 重写为边界上未知量与格林函数的积分方程，是边界元方法（第七章软件生态的一员）的理论地基——只需剖分边界、不需剖分体网格。随机视角：格林函数是布朗运动的访问分布的生成函数，椭圆方程与随机游走的深刻等价（第五章 SPDE 的伏笔）。数值视角：多重网格、预条件子这些第七章的加速技术，本质都是在逼近逆算子——也就是逼近格林函数。物理解读：互易、正性、奇异性强度由维度决定，一条公式里排得干干净净。

💡 关键直觉：线性系统的全部信息压缩在脉冲响应里。对 PDE 而言脉冲就是德尔塔源，响应就是格林函数——先解最简单的提问，再叠加出一般答案，这个顺序值得刻进求解任何线性问题的直觉里。

本节要点

• 格林函数：单位点源在给定边值下的响应，2.4 节德尔塔语义的第一次正经用场；
• 表示公式：弱语言三次分部积分换来 u = 格林函数与源及边界数据的积分表达；
• 显式两类：基本解管全空间（维度定奇异强度），镜像法管规则区域，泊松核是圆盘特例；
• 数值可摸：离散格林矩阵逐列即点源响应，对称性与正性可机器验收；
• 视角红利：边界元、随机表示、预条件技术共用这一套语言，线性问题先解点源再叠加。

解析篇到此收官：三种方程、三条路线、一个统一视角。但所有推导都默认方程"乖"——区域规则、系数常值、线性叠加。第四章把主动性抢回来：不挑方程、不挑区域，把解直接算出来。