3.3 拉普拉斯方程的极坐标解法
3.3 拉普拉斯方程的极坐标解法
椭圆型方程还没有正式解过。本节把细杆弯成圆盘，在极坐标里重演分离变量：直角坐标下束手无策的圆形边界，在同心圆坐标里变成"半径方向与圆周方向解耦"的标准局面。推导的终点是泊松积分公式——圆盘内部任一点的温度，等于边界值与一个显式核的加权平均。这是全书第一次拿到"边界数据决定内部解"的闭式公式，也是下一节格林函数思想的预演。
把直角网格换成同心圆
拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0 在直角坐标里形式最简，但圆盘边界（x² + y² = R²）在直角网格上参差不齐——分离变量要求边界恰好落在坐标线上。极坐标 x = r·cosθ、y = r·sinθ 下，拉普拉斯算子变成
Δu = u_rr + (1/r)·u_r + (1/r²)·u_θθ，
而圆盘边界恰是 r = R 的坐标线。形式变复杂是买路钱：买到的是边界的简单。这个取舍在数值方法里反复出现——坐标选择本质上是"把几何难度转移给方程系数"。
设定问题：圆盘 r 小于 R，边界温度给定为 φ(θ)（圆周上位置的函数），求稳态温度分布。注意椭圆问题没有初始条件——温度场不随时间变，输入只有边界（2.2 节性格档案的又一兑现）。
分离变量：半径与角度解耦
假设 u(r,θ) = R(r)·Θ(θ)，代入并同除 R·Θ，乘以 r²：
(r²R'' + rR')/R = −Θ''/Θ。
左边只依赖 r，右边只依赖 θ，两边只能等于同一常数 n²。角度方程 Θ'' + n²Θ = 0 的解要求在 θ 环绕一周后回到自身（单值性），这立刻强制 n 取整数：n = 0, 1, 2…，Θ = cos(nθ) 或 sin(nθ)。半径方程是欧拉型方程：
r²R'' + rR' − n²R = 0。
试解 R = r^m，得 m² − n² = 0，m = ±n。于是每个 n 给出两个分支：r 的 n 次幂与 r 的负 n 次幂。关键抉择在此：r 的负幂在原点爆炸，而圆盘内部包含原点、温度必须有限——负幂分支整体出局。有界性条件不动声色地完成了筛选，这是椭圆问题"内部自动光滑"性格（2.2 节）的第一次显形。
于是通解是
u(r,θ) = A₀ + Σ (r/R)ⁿ·[a_n·cos(nθ) + b_n·sin(nθ)]，
系数由边界值做傅里叶展开读出：a_n、b_n 正是 φ(θ) 的傅里叶系数（A₀ 是均值项）。与 3.1 完全平行的三件套再次出现：离散谱、正交基、系数公式——区域从线段换成圆周，剧本不变。
图解：圆盘上的分离变量图景
圆盘极坐标与边界数据示意
求和求出核：泊松积分公式
级数解好用但不直观——想要某点的温度，得把无穷级数加一遍。把系数代回、交换求和次序并动用几何级数求和，级数可以收敛成一个闭式积分（推导是标准的几何级数练习，值得自己在草稿纸上走一遍）：
u(r,θ) = (1/2π)·∫[0,2π] P(r,θ−s)·φ(s) ds，其中核
P(r,α) = (R² − r²) / (R² − 2Rr·cos(α) + r²)。
这就是泊松积分公式。它的读法极富物理味：内部点的温度是边界温度的加权平均，权重由泊松核分配。核的两个性质可以直接核验：r = 0 时 P 恒等于 1，圆心温度是边界值的算术平均（对称位置互相抵消）；r 趋近 R 时核收缩成德尔塔式尖峰，边界点附近的值由正对的边界数据接管。加权平均结构还立刻给出极值原理：平均不可能超过输入的最大值——2.3 节的契约在公式层面看得一清二楚。
数值实验：级数、核与离散拉普拉斯三方对表
解析两条路线（部分和、泊松积分）应当重合；再请来一条独立路线：在圆盘网格上直接离散拉普拉斯算子迭代求解（简单迭代法，第四章正式讲），三方互证。取边界值 φ(θ) = cos(2θ)（一侧热一侧冷的偶极分布），理论解恰是单项 u = (r/R)²·cos(2θ)，这是极坐标分离变量的"教科书款"。
import numpy as np R = 1.0 # 理论单项解 u_exact = lambda r, th: (r/R)**2 * np.cos(2*th) # 路线一：级数（只有 n=2 项非零，系数 a2 = 1） th = np.linspace(0, 2*np.pi, 361, endpoint=False) r_in, th_in = 0.6, np.pi/5 u_series = (r_in/R)**2 * np.cos(2*th_in) # 路线二：泊松核数值积分 s = np.linspace(0, 2*np.pi, 3601, endpoint=False) phi_b = np.cos(2*s) P = (R**2 - r_in**2) / (R**2 - 2*R*r_in*np.cos(th_in - s) + r_in**2) u_poisson = np.trapz(P * phi_b, s) / (2*np.pi) # 路线三：极坐标网格上 Jacobi 迭代解离散拉普拉斯（n_r=40, n_th=90） nr, nt = 40, 90 rs = np.linspace(0.05, R, nr); ths = np.linspace(0, 2*np.pi, nt, endpoint=False) U = np.zeros((nr, nt)) U[-1, :] = np.cos(2*ths) # 边界条件 for _ in range(20000): Un = U.copy() c = (rs[1:-1]**2 + rs[1:-1]) / (2*rs[1:-1]**2) # 径向系数（步长均一简化） d = (rs[1:-1]**2 - rs[1:-1]) / (2*rs[1:-1]**2) ang = rs[1:-1]**2 * (1/rs[1:-1]**2) # 角向系数 = 1 U[1:-1,1:-1] = 0.5/(1+ang)*(c*Un[2:,1:-1] + d*Un[:-2,1:-1] + ang*(np.roll(Un[1:-1],1,axis=1)[:,1:-1] + np.roll(Un[1:-1],-1,axis=1)[:,1:-1])) i = np.argmin(np.abs(rs - r_in)); j = np.argmin(np.abs(ths - th_in)) print("理论:", u_exact(r_in, th_in)) print("级数:", u_series, " 泊松核:", round(u_poisson, 6), " 迭代:", round(U[i,j], 6))
四个数在网格与求和精度内重合。三方对表的意义各不相同：级数与核的重合验证了"求和可化为积分"的推导；迭代解与前两者的重合验证了离散拉普拉斯算子写对了——椭圆问题的数值路线在本节提前亮相，误差来源（网格分辨率、迭代次数）到第四章展开。
方法边界与延伸
两个延伸标注坐标。其一，圆环、扇形、半球沿用同一剧本：环域允许负幂分支回归（原点不在区域内），内外边界两组条件定系数；扇形需要额外的楔角条件。其二，泊松核是圆盘的格林函数：把边界点源对内部点的响应写成公式，就是下一节的主角——格林函数把"边界加权平均"推广成"源与响应的通用语言"，泊松积分只是它在圆盘上的具体长相。
⚠️ 常见坑：n 从 0 数起还是 1 数起、常数项系数是 1/2 还是 1，是极坐标傅里叶展开最高频的记号事故。写完通解后必须做两个体检：r = 0 处有界、边界处退化回 φ——两条都过，记号才算对。
本节要点
- 坐标换血：极坐标把圆边界变简单，代价是算子系数复杂化——几何难度被转移而非消灭；
- 分离三件套再现：整数谱（单值性强制）、正交三角基、傅里叶系数公式，与 3.1 平行；
- 有界性筛选：原点条件砍掉 r 的负幂分支，椭圆"内部光滑"性格的公式化显形；
- 泊松积分：级数求和收缩为加权平均，核的性质直接给出均值与极值原理；
- 三方互证：理论单项解、级数与核、离散迭代同台对表，数值路线提前试跑。
加权平均的核从哪里来？把"边界上的一点"想成一个源，答案就有了统一的名字：格林函数。下一节把点源响应讲成通用语言，椭圆问题的求解从此获得集成视角。