2.2 显式欧拉为什么会飞

2.2 显式欧拉为什么会飞

本节摘要：显式欧拉用当前加速度更新速度、用当前速度更新位置，等于始终在力曲线外侧切一刀。简谐振子上每步都给系统偷偷加油，振幅越来越大，直到弹簧爆炸。固定 dt 也救不了这种结构性涨能，只能换积分器或加假阻尼——而假阻尼会把真实运动一起摁死。

核心问题

阅读完本节，你应当能够：

1. 写出显式欧拉的两行更新，并在弹簧实验上画出能量随时间上升
2. 用“切线在圆外”的几何直觉解释轨道半径增大
3. 区分截断误差、稳定域、能量漂移三个不同问题
4. 决定刚体引擎为什么几乎从不用纯显式欧拉当默认

一、两行代码，一根会自己拉长的弹簧

把质量拴在原点弹簧上，无阻尼，解析解是等幅振荡。显式欧拉是：

a = -k / m * x
v = v + a * dt
x = x + v_old * dt     # 注意用的是旧速度
​

有人把第二行写成新速度，那其实已经滑向半隐式，下节再谈。纯显式用旧速度更新位置。取 k=1000、m=1、dt=1/60，初值拉开 1 米。几十步后振幅明显变大，再过几秒位置变成天文数字。这不是实现写错，是方法在放大能量。

弹簧像钟表游丝。游丝该把摆轮拉回，显式欧拉却总在“已经该回头的点”还按旧方向加一把。每步加的那一点能量，正是截断误差的符号偏向。dt 越小，涨得越慢，但一直在涨。把 dt 改成 1/1000，作业里能撑久一点，产品里仍会在长会话后炸。

圆轨道更直观。向心力 a = -omega^2 * r，解析解是圆。显式欧拉每步速度垂直于半径加一个切向误差，半径向外螺旋。半隐式欧拉在这个例子上会走多边形，半径漂移小得多。画出来，面试都能讲。

自由落体骗过很多人：重力常数，显式欧拉的位置误差是 dt 平方量级且不反馈，短时间看不出来。一加恢复力（弹簧、接触罚函数、布料边），反馈回路把误差符号锁成“加油”。所以“我用欧拉掉石头没问题”不能推出“我用欧拉做物理引擎没问题”。

二、稳定域不是能量守恒

数值课会画稳定域：dt 太大，解振荡发散。那是另一件事。显式欧拉对简谐振子的稳定条件大致是 dt < 2/omega，omega 是固有频率平方根。硬弹簧频率高，dt=1/60 直接出稳定域，一步就 NaN。即使缩进稳定域，能量仍单调涨，只是涨得像慢性病。

三个词不要混：

• 稳定：有界，不 NaN。可能已经完全不像物理。
• 收敛：dt→0 时靠近真解。显式欧拉是一阶收敛，半隐式通常也是一阶，但能量行为更好。
• 守恒：能量、动量是否保持。辛积分、Verlet 在保守力下近守恒；欧拉不守恒。

游戏要的往往是“看起来守恒”和“永不 NaN”，不是数学论文里的四阶精度。所以默认半隐式，而不是上 RK4。RK4 更准，但约束冲量插在子步骤里很别扭，计算量也大。刚体引擎的误差大头在接触，不在光滑力场的积分阶数。

罚函数接触把穿透当弹簧，刚度极高，频率极高，显式欧拉几乎必炸。这也是为什么现代引擎不用罚函数当主接触，而用冲量约束——约束不走这根硬弹簧的积分路径。若你坚持显式加罚函数，dt 可能要小到 1 毫秒以下，实时预算不够。

💡 关键直觉：接触若被建模成硬弹簧，你就在求一个你的积分器解决不了的刚性问题。换积分器或换接触模型，不要把弹簧刚度调到 1e8 再祈祷。

阻尼能掩盖涨能：每步 v *= 0.99。它也能把真实的弹性运动摁成一潭死水。用阻尼去“修欧拉”是在用错误补偿错误。可以当临时保险丝，不能当方案。正确做法是换半隐式或 Verlet，再加物理上站得住的阻尼（空气、摩擦）。

三、实验协议：同一把尺子

比较积分器必须固定：dt、初值、弹簧 k、质量、步数。只改更新公式。记录动能加势能。显式欧拉的总能应稳步上升；半隐式可能微涨；Verlet 应在真值附近振荡。把三条曲线画在一张图上，比任何教科书句子都有用。

图 显式欧拉在圆轨道上外旋

高速子弹打薄板，显式欧拉可能整步穿过，根本没采样到板的力。这是隧道效应，积分阶数救不了，要连续碰撞或更小 dt。别指望“换成 RK4 就能打中薄板”。检测不到，积分再准也是在真空里飞。

刚体若只用重力加冲量接触，没有罚弹簧，显式欧拉有时能撑——因为接触不走硬弹簧。即便如此，仍建议半隐式：多写一个用新速度更新位置，稳定性明显好，成本为零。没有理由在新产品里默认纯显式。

⚠️ 常见坑：在变 dt 下测欧拉，卡顿帧看起来像“偶发爆炸”，于是去查碰撞。先把第 1.2 节的固定步套上，再给欧拉定罪。否则你在给抖动的尺子做实验。

能量曲线要对数坐标，线性坐标前期像平的，突然一根竖线，你会以为是某一帧碰撞写错。对数上一开始就是斜线，那是方法本身。

把弹跳球的积分改回纯显式、去掉地面，只留弹簧挂着球，看曲线。再改回半隐式。两张图存下来。第 2.3 节所有推荐都以这两张图为证据，而不是“业界都这么做”。业界这么做，是因为这张图在每个工作室都画过一遍。

还可以测相位误差：同样 10 秒，解析解振荡多少次，数值解慢了还是快了。显式欧拉通常周期也会漂。游戏里周期漂一点不致命，振幅漂会致命。角色跳跃高度越跳越高，玩家能立刻感觉到。所以能量行为的优先级高于相位精度。这是实时引擎和科学计算选积分器时分道的地方：科学计算在乎相位和长期定性；游戏在乎别炸、别穿、别抖。

若你在做轨道力学或长时机器人仿真，欧拉更不能用，那是另一本教程的辛积分和变步长 ODE。本教程默认实时、固定步、刚体加接触。工具选得和问题匹配，比追求“更高阶”重要。

四、课堂实验记录怎么写

实验标题：简谐振子能量漂移。参数：m=1，k=400，x0=1，v0=0，dt=1/60，步数 600。记录每步 E=0.5*m*v^2+0.5*k*x^2。显式欧拉结束时 E 应明显高于初值；若你的曲线下降，多半把公式写成了半隐式（位置用了新速度）或忘了弹簧力符号。把 CSV 留下来，第 2.3 节直接叠上去。

第二实验：圆轨道。向心加速度 omega^2=4，半径 1，dt=1/60。显式欧拉 10 秒后半径应明显大于 1。半隐式半径漂移小。不要用碰撞“帮忙”把点拉回圆上，那不是积分器实验。

第三：把 dt 改成 1/15，显式欧拉可能直接出稳定域变 NaN。这是刚性：硬弹簧加长步长。记下 k 与最大稳定 dt 的粗关系，后面选接触模型时你就知道为什么罚函数弹簧不能配大 dt。

课堂记录的意义是：以后调接触爆炸，先问“我是不是又在用显式加硬弹簧”。有自己的图，不必背书。

实践问答

我的欧拉能量在下降是不是更好？

先查是不是其实写成了半隐式，或弹簧符号把力写成了阻尼。纯显式振子应涨能。下降可能是 bug 碰巧耗散，换参数就会涨。不要把 bug 当特性。

缩小 dt 能不能让欧拉能用？

慢性化不是治愈。长会话仍涨。产品还要弹簧和接触，欧拉更脆弱。没有理由默认纯显式。

阻尼补偿欧拉可以上线吗？

只当保险丝。真运动会一起被摁死，手感发黏。正确路径是换半隐式。阻尼补偿会让你调两个错误互相抵消，下个场景就穿帮。

罚函数接触为什么特别怕欧拉？

接触被当成极硬弹簧，频率极高，一步就出稳定域。改冲量模型，不要把罚刚度调到天文数字再配欧拉。

参数扫描笔记：欧拉反例

扫描 1：自由落体看起来对

不能当通行证。一加弹簧就涨能。

扫描 2：dt=1/1000 仍用欧拉上线

慢性涨能，长会话仍炸。换半隐式成本为零。

扫描 3：能量线性坐标看不出

前期像平的然后竖线。用对数。

扫描 4：变 dt 下测欧拉

卡顿像偶发爆炸。先钉固定步再定罪。

扫描 5：RK4 打薄板

检测不到就打不中。隧道不是阶数问题。

扫描 6：罚刚度 1e8 配欧拉

定时炸弹。改冲量模型。

扫描 7：假阻尼 0.99 每步

真运动一起死。只当临时保险丝。

扫描 8：圆轨道不画

外旋是最好懂的图。留下截图给后继者。

扫描 9：相位漂一点

游戏可接受。振幅漂不可接受。优先级如此。

工程备忘录

备忘 1

把「02-显式欧拉为什么会飞」相关的失败做成最小复现：关掉渲染特效、关掉音频、只留固定 dt 的 step 和一份输入日志。能在十秒内重放出来的 bug 才叫被抓住。不能重放就先补录制，再谈修。很多人在这一步省时间，后面用几天陪着偶发抖动。 本条对应「02-显式欧拉为什么会飞」第 1 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 2

在「02-显式欧拉为什么会飞」路径上加计数器要进 step 末尾快照，不要在热循环里格式化字符串。计数器本身若分配内存，你会优化一个被测量污染的世界。发布版可用宏剥掉绘制，但计数器的定义要保留，方便线上开一个极轻的统计开关。 本条对应「02-显式欧拉为什么会飞」第 2 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

要点串联

• 显式欧拉在恢复力系统上系统性涨能，缩小 dt 只是慢性化，不是治愈。
• 自由落体看不出问题，不能当通行证。
• 稳定域、收敛阶、能量守恒是三件事；游戏优先有界加看起来守恒。
• 罚函数接触 + 显式欧拉 ≈ 定时炸弹；改冲量模型或改积分器。
• 不要用假阻尼修补欧拉，除非作为调试保险丝。
• 比较必须固定 dt 和初值；画能量对数曲线。
• 隧道效应不是积分阶数能单独解决的。

下一节给出默认该写的半隐式欧拉，以及布料爱用的 Verlet，还有软体大步长才请出的隐式方法。