2.3 半隐式 Verlet 与隐式积分

2.3 半隐式 Verlet 与隐式积分

本节摘要：刚体实时引擎的默认积分是半隐式欧拉：先用当前力更新速度，再用新速度更新位置。布料和绳索常用位置 Verlet 或 XPBD，把约束直接写在位置上。隐式欧拉能吃大步长，但每步要解线性系统，且和冲量求解器叠在一起时容易发黏。按物体类型选加法，不要全局一只积分器打天下。

本节地图

阅读完本节，你应当能够：

1. 实现半隐式欧拉，并说明它与显式只差“用哪份速度写位置”
2. 实现位置 Verlet，用上一帧位置反推速度给碰撞用
3. 说出隐式积分的代价和适用的软体场景
4. 避免在同一物体上同时跑隐式积分和强位置投影导致过阻尼

一、半隐式欧拉：多写一个字的默认答案

半隐式（也称辛欧拉、半显式）是：

v = v + a(x) * dt
x = x + v * dt          # 用已经更新的 v
​

相对纯显式，位置用了新速度。对简谐振子，它接近辛方法，能量在真值附近振荡而不是单调爬。圆轨道走成多边形，半径漂移远小于显式。计算量相同。刚体重力、风力、简单弹簧，用它就对。

角速度同样：先 w += Iinv * tau * dt，再 q += 0.5 * omega(q,w) * dt。有人先积分位置再算碰撞，冲量改速度后位置已经用旧速度走过，接触会少修一帧。标准顺序是：力积分速度 → 碰撞与约束改速度 → 用约束后的速度写位置。也就是把“x += v*dt”放到求解器之后。这仍叫半隐式家族，只是中间插入了冲量。

我做刚体堆箱子时用半隐式加顺序冲量；做旗帜用 Verlet/XPBD。两者在同一世界共存时，布料粒子不要当刚体积分，刚体不要当 Verlet 点，用接触把两套状态桥接。硬桥接会抖，第 5 章再谈。

Verlet 写法：

x_new = x + (x - x_prev) + a * dt * dt
x_prev = x
x = x_new
​

速度不显式存储，v = (x - x_prev) / dt。约束把点拉到满足长度后，速度自动变。这就是位置基动力学的老家。缺点：变 dt 时 (x-x_prev) 仍是旧步长的位移，必须按 dt 比例缩放，否则加速卡顿会把布料射出去。固定步再次成为前提。

二、隐式：大步长的税

隐式欧拉用未来加速度：v_new = v + a(x_new) * dt。弹簧力依赖未来位置，于是变成线性或非线性方程。软体网格几百点，每步解稀疏系统，才能在 1/30 秒步长下不炸。税是：实现复杂、每步迭代、过阻尼（运动发黏、高频被吃掉）。电影布料常用；游戏旗帜未必值得。

隐式不等于无条件稳定到可以乱取 dt。接触、碰撞、非光滑摩擦仍会限制步长。把 dt 开到 1/10 秒，角色会穿透台阶。隐式解决的是“软弹簧刚度高”的刚性 ODE，不是隧道效应。

XPBD 把约束刚度从迭代次数里拆出来，用柔度参数，迭代不够时变软而不是变硬到爆炸。游戏布料这几年多走这条，而不是隐式 FEM。选型时问：我要材料准确性，还是要 60Hz 好看？前者隐式 FEM，后者 XPBD。

💡 关键直觉：半隐式是“速度先行”，Verlet 是“位置先行”。冲量约束喜欢速度先行；长度约束喜欢位置先行。选积分器等于选你的约束主要写在哪一层。

子步：一次逻辑步里把 dt 切成 k 份，积分-碰撞-求解循环 k 次。对堆叠稳定性极有效，成本近似线性。很多引擎对外 60Hz，对内 2 到 4 子步。比把求解器迭代从 10 加到 40 更管用，因为子步会重新生成接触。只加迭代、不子步，接触法向还是这一帧开头那份，高速旋转时会过时。

三、和约束叠在一起时的发黏

隐式积分自带数值阻尼，再加鲍姆加特位置修正，物体像泡在糖浆里。表现：箱子放下后要半秒才“坐实”，关节电机推不动。对策：刚体走半隐式；软体走隐式或 XPBD，但位置修正系数分开调；不要全局一个 beta。

冲量求解后不要再跑一遍完整隐式系统去“光滑”，除非你清楚在解什么。常见错误是：半隐式预测 → PGS → 又用罚弹簧隐式拉一次。两套接触模型互殴，能量和穿透指标都会撒谎。

⚠️ 常见坑：Verlet 物体和刚体碰撞时，用刚体那套恢复系数直接改 Verlet 速度，再写回 x_prev，符号一错布料爆炸。应把接触写成 XPBD 的不等式约束，或把碰撞点当刚体接触只推刚体。

调试清单：

• 关掉碰撞，只留弹簧，能量应有界
• 打开碰撞，关掉摩擦，堆叠应在若干帧内睡住
• 摩擦打开后，斜坡上的箱子应在静摩擦角内停住，不要慢慢爬回去（那是错误的切向偏置）

RK4 什么时候用？几乎不用在带接触的刚体世界。用于：载具悬挂的光滑力、自定义轨道摄像机、非碰撞粒子力场。一旦有非光滑碰撞，高阶方法的中间点没有良好定义的接触力，精度优势消失。

把第 2.2 节的弹簧实验换成半隐式和 Verlet 各跑一次。半隐式能量振荡；Verlet 更平。再把 dt 加倍，看谁先坏。你会得到自己的选型表，而不是抄一句“用 Verlet 更稳”。稳的定义依赖你的约束写在速度还是位置。

重力在 Verlet 里是 a*dt*dt 加到位置，数量级容易写错成 a*dt。单位测试：自由质点 1 秒下落距离应接近 0.5gt^2。半隐式因速度先行，自由落体位置会略大于解析值，游戏里可忽略。若差出一个 dt 因子，屏幕上物体第一帧就消失，那是乘法写错，不是稳定性。

多种积分器共存时，时间戳必须同一固定 dt。不要刚体 60Hz、布料 30Hz 还共用一个接触池，除非你明确做了多速率耦合。多速率是高级话题：慢系统用大步，快系统子步，接触在细步上生成。第一版引擎用全球一种 dt 加子步，够了。

四、混用积分器的耦合清单

刚体半隐式、布料 Verlet 同屏时，接触点一侧有 v 一侧只有派生速度。要把布料顶点速度在碰撞前算出来，冲量改完再写回 x_prev，使 x_prev = x - v*dt。写反则布料下一帧朝错误方向飞。先做“刚体球撞静态布”再做“布盖动态箱”，单向比双向容易验。

隐式软体与刚体 PGS 同屏，时间步必须同一固定 dt 或明确多速率。多速率时细步上冻结刚体位置，只把冲量累积到刚体，粗步再一次施加。第一版不做多速率，布料用子步、刚体也跟着子步，贵但正确。

RK4 中间点没有接触力的良好定义。有人把接触只加在整步上、中间点当无碰撞，高速时等于关闭接触。不要混。光滑力场（风力、向心力演示）可以用 RK4，接触物体不要用。

检查表：关掉碰撞弹簧能量有界；自由落体 1 秒位移接近 4.9 米；Verlet 变 dt 必须缩放 x-x_prev。三条不过，积分器没毕业。

实践问答

半隐式为什么把写位置放到求解后？

让位置用约束后的速度走，接触才来得及在这一步起作用。先写位置再求解，等于这一帧已经穿过去了，求解只改速度，画面上仍穿。顺序是半隐式家族的工程形态。

Verlet 变 dt 必须缩放位移吗？

必须。x-x_prev 带旧 dt 的量纲。固定步则无此问题。这是又一个固定步的理由。

子步和加迭代如何选？

子步会刷新接触，高速旋转时更值。只加迭代，法向还是步初那份。先子步 2，再看迭代。手机上子步也费电，用分析器。

刚体和布料混用第一版怎么做？

同一 dt，布料子步时刚体跟着。接触先单向。双向冲量还回放在软体稳之后。多速率耦合是进阶，先别做。

参数扫描笔记：积分耦合

扫描 1：先写位置再求解

这一帧已经穿了。位置用约束后速度写。

扫描 2：Verlet 卡顿不缩放位移

布料射出。固定步可避免。

扫描 3：隐式加很大 bias

糖浆。刚体不要隐式，软体分开调 beta。

扫描 4：两套接触模型叠同一物体

能量指标撒谎。选一套。

扫描 5：布料改速度不写回 x_prev

下一帧飞。派生速度要自洽。

扫描 6：全球一种 dt 加子步

第一版够。多速率以后再说。

扫描 7：RK4 中间点加接触

中间点接触力无良好定义。接触物体不用 RK4。

扫描 8：重力写成 a*dt 进 Verlet

第一帧消失。自由质点 1 秒 4.9 米验收。

工程备忘录

备忘 1

对账数字比观感先行。静止支撑冲量是否接近质量乘重力乘 dt，自由落体一秒是否接近四点九米，两球对心是否交换速度。「03-半隐式Verlet与隐式积分」相关实现先过对账，再谈好看。 本条对应「03-半隐式Verlet与隐式积分」第 1 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 2

「03-半隐式Verlet与隐式积分」出抖动时按清单：时间步是否固定、流形点是否闪、法向是否跳、恢复系数是否在静止时仍生效、bias 是否过大、迭代是否其实在清零热启动。不要先把摩擦系数调到十。 本条对应「03-半隐式Verlet与隐式积分」第 2 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 3

空间结构必须在世界系。把「03-半隐式Verlet与隐式积分」绑到摄像机或屏幕格子，逻辑和确定性都会在转视角时崩。渲染剔除不能代替宽相，看不见的物体仍能被撞到。 本条对应「03-半隐式Verlet与隐式积分」第 3 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 4

「03-半隐式Verlet与隐式积分」的预分配策略：按关卡上限留容量，超出打日志并降级，不要在 step 中途默默扩容。扩容是卡顿尖峰，也是回放时分配顺序不同导致的潜在分叉源。 本条对应「03-半隐式Verlet与隐式积分」第 4 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 5

把「03-半隐式Verlet与隐式积分」相关的失败做成最小复现：关掉渲染特效、关掉音频、只留固定 dt 的 step 和一份输入日志。能在十秒内重放出来的 bug 才叫被抓住。不能重放就先补录制，再谈修。很多人在这一步省时间，后面用几天陪着偶发抖动。 本条对应「03-半隐式Verlet与隐式积分」第 5 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

温故知新

• 刚体默认半隐式：先更新速度，约束改速度，再写位置。
• Verlet/XPBD 适合网状约束；速度是位置差出来的派生量。
• 隐式换大步长，税是线性求解和过阻尼，不治隧道效应。
• 子步比盲加迭代更稳，因为接触会刷新。
• 不要两套接触模型叠在同一物体上。
• 用自由落体距离和弹簧能量两条测试卡住实现。
• 高阶 RK 不适合非光滑接触；光滑力场再考虑。

下一章进入碰撞。积分给出可能非法的预测位置，宽相和窄相负责把“谁和谁可能碰上”变成接触数据。