4.2 顺序冲量与约束求解器

4.2 顺序冲量与约束求解器

本节摘要：多个接触同时成立时，一条冲量会破坏另一条刚修好的相对速度。顺序冲量（投影高斯-塞德尔）轮流访问每条约束，算本条的增量冲量，立刻写到速度上，并把累计 lambda 钳在合法集合里。它不是数学最优，但实时、可热启动、可并行按岛拆。摩擦用锥投影，迭代次数和子步一起调。

你能学到什么

阅读完本节，你应当能够：

1. 实现带累计 lambda 的法向顺序冲量循环
2. 对切向冲量做库仑锥钳制
3. 解释为什么热启动能减少迭代
4. 在加迭代、加子步、加岛之间做选择

一、为什么不能只算一次

两个箱子叠着，底下还有地。先解上对下，再解下对地，上对下又坏了。必须迭代。顺序冲量每次只看一条约束的当前速度误差，算 delta-lambda，加到累计 lambda，再把 delta 应用到刚体速度。下一条看到的是已经更新过的速度。这是高斯-塞德尔：用最新的邻居未知量。雅可比迭代用全旧值，刚体引擎里少见，因为 GS 通常收敛更快。

for iter in 1..N:
    for each contact:
        vn = relativeNormalVel(...)
        dLambda = (vn_target - vn) / K
        lambda0 = contact.lambdaN
        contact.lambdaN = max(lambda0 + dLambda, 0)
        dLambda = contact.lambdaN - lambda0
        applyImpulse(dLambda * n)
​

关键是累计非负，不是单次 dLambda 非负。否则上一次推开的量会被下一次“吸回去”。热启动：循环前 lambdaN 用上一帧缓存，先 applyImpulse(lambdaN) 一次（或等价地从缓存速度开始），再迭代修正。静止堆叠几乎一开始就满足。

游戏刚体选 PGS。机器人高精度轨迹选更硬的求解器或更多迭代加更小 dt。不要在游戏里上内点法除非你知道预算。

二、摩擦锥

三维切向二维。可以准备两个正交切向 t1、t2，对每个做类似法向的约束，但累计向量长度 sqrt(lt1^2+lt2^2) <= mu * lambdaN。超过则缩放切向累计。二维一个切向，钳制在 [-mu*jn, mu*jn]。

静摩擦表现为：锥内能把切向相对速度刹到 0。锥外滑动，方向与 vt 相反。热启动的切向 lambda 让静摩擦锚住。mu 动静可以不同，静摩擦略大，但实现要带滞回，否则在阈值附近振荡。很多游戏用一个 mu 省事。

约束顺序：通常先接触法向，再摩擦，再关节。有人把关节放前面，让机构先硬。门被箱子挤时，关节先还是接触先，手感不同。做成可配置，默认接触优先往往堆叠更稳。

💡 关键直觉：PGS 是在“轮流把台球摆正”。次数不够，堆会像海绵；次数太多，收益递减还费时。先加子步刷新接触，再加迭代。

迭代次数：简单场景 6–10；堆金字塔 15–25；睡眠后可以少算。残差：最大法向速度误差低于阈值可早停。早停对休眠友好。不要每帧固定 50 次“以求安心”，手机上会卡，PC 上你会失去找真瓶颈的机会。

三、软化、分岛、失败模式

允许轻微穿透的软约束：K 改成 K + softness/dt 或给 lambda 上限。软接触能避免爆炸，堆叠会略沉入地面。过软像沼泽。刚性由迭代、dt、beta、softness 共同决定，调参一次只动一个。

图 顺序冲量轮流投影

抖动典型原因：流形点跳、法向跳、beta 太大、e 在静止时没关、迭代太少、dt 变。按这个清单查，不要先改 mu 到 10。mu 过大加迭代不足，切向与法向互殴，更抖。

⚠️ 常见坑：每轮都把 lambda 清零再算。等于扔掉热启动，静止堆永远像新碰撞。累计必须跨迭代、跨帧（经流形缓存）活着。

分岛：互相接触的刚体进同一岛，岛之间无共享约束，求解完全独立。第 6 章并行按岛调度。现在单线程也可以分岛：小岛少迭代，睡着的岛跳过求解。这是顺序冲量的结构红利，直接 LCP 一个大矩阵反而不好拆。

位置修正阶段：速度求解后写位置，若仍穿透，可再跑几次只含 bias 的迭代，或轻量位置投影。Box2D 风格把位置求解和速度求解分开，避免 bias 污染真实速度导致额外弹跳。值得做：速度步 e 生效；位置步只消穿透、e=0。两套 lambda 不要共用缓存，位置步 lambda 用完即扔。

测试：金字塔 5 层应在 2 秒内休眠；斜坡静摩擦不蠕动；长铰链链条两端拉直不爆炸。失败就减 beta、加子步、查流形，而不是把迭代加到 100 假装解决。

互补条件用文字记：接触力不能拉（lambda≥0），不能有未解决的接近速度同时为零力还在穿透——实际用松弛：允许微小穿透。LCP 理论保证存在解的条件在库仑摩擦下并不总成立，PGS 可能在摩擦问题上循环。锥投影是启发式，但二十年游戏证明它够用。若你看到切向冲量在两个方向间振荡，减小 mu 或把摩擦迭代放在法向之后并减少切向 overshoot。

重力在速度步开始前已经积分进去，第一轮接触会立刻出现很大的接近速度，热启动的支撑冲量应把它们抵消。若没有热启动，金字塔底层第一帧会被压得深深穿透，bias 再猛拉，抖动源。所以 3.3 的缓存不是美容，是求解器的初值。

四、调参旋钮一次只拧一个

旋钮列表：迭代次数、子步、beta、e 阈值、mu、softness、位置步开关。抖动时按 7.1 现象表先定性，再拧对应旋钮。禁止一次改五个然后说“好像好了”。记录：场景名、旋钮、前后醒岛时间、是否蠕动。这是物理程序员的实验笔记，不是玄学。

位置步与速度步分离的最小实现：速度步用 e 和摩擦；写位置后，对仍穿透的接触再跑 2–3 次只含 bias、e=0、无摩擦的迭代，lambda 不写回流形缓存。位置步过猛会把物体抬飞，上限钳制 bias。Box2D 用户会觉得眼熟，因为这条路被走通了。

摩擦振荡：切向 lambda 在正负之间跳，物体微颤。减小切向有效质量的 overshoot，或把切向迭代放在法向之后并减少切向次数。mu 从 0 加起，斜坡实验确定最小值，不要从 2 往下调。

小岛优先：接触少的岛少迭代，接触多的岛多迭代。固定全局 20 次对单箱子浪费，对楼房倒塌不够。按岛接触数分段。这和并行无关，单线程也省。

实践问答

为什么累计非负而不是单次非负？

单次非负会把上一轮推开的量吸回去。接触力不能拉，指的是累计 lambda。这是互补条件在 PGS 里的样子。

热启动要先施加再迭代吗？

可以先把缓存 lambda 施加到速度，再迭代修正；或把速度留在上一帧末状态上迭代。两种都行，不要每轮清零。清零等于扔热启动。

库仑摩擦在理论上一定有解吗？

不一定。PGS 锥投影是启发式。游戏二十年够用。切向振荡时减 mu 或减切向 overshoot，不要改成内点法除非你是机器人精度项目。

小岛少迭代会不会看得见软？

单箱子看不出来。倒塌楼房不够再按接触数加。分段比全局 50 次聪明。

位置步 lambda 为什么不缓存？

位置步只消穿透，缓存进速度步会污染弹跳。用完即扔。两套 lambda 别混。

参数扫描笔记：PGS 调参

扫描 1：每轮清零 lambda

扔热启动，堆像橡皮。

扫描 2：一次改五个旋钮

无法复现。笔记一次一个。

扫描 3：位置步 lambda 写回流形

假弹跳。位置步用完即扔。

扫描 4：mu 从 2 往下

振荡。从 0 加起斜坡确定。

扫描 5：全局 50 次安心

手机卡，还失去找瓶颈机会。按岛分段。

扫描 6：摩擦理论无解时改内点法

游戏不必。减 mu 或 overshoot。

扫描 7：只加迭代不加子步

接触过时。先子步 2。

扫描 8：小岛与楼房同一迭代

浪费或不够。按接触数分段。

工程备忘录

备忘 1

固定时间步是「02-顺序冲量约束求解」所有数值实验的尺子。尺子在抖，你无法比较积分器，无法调 beta，无法谈确定性。谁把渲染帧时间直接喂进物理，谁就在用弹性的尺子量钢梁。 本条对应「02-顺序冲量约束求解」第 1 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 2

「02-顺序冲量约束求解」里出现 NaN 要在源头断言：未归一化法向、零长度边当轴、除以过小的有效质量、四元数没归一。把 NaN 传到求解器再查，整场速度都会脏，回溯成本高一个数量级。 本条对应「02-顺序冲量约束求解」第 2 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 3

和美术、策划交接「02-顺序冲量约束求解」参数时，用测试盒而不是形容词。说清楚二十厘米台阶能上、八十厘米不能，比说手感更跟手有用。测试盒还能在引擎升级后当合同跑一遍。 本条对应「02-顺序冲量约束求解」第 3 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 4

「02-顺序冲量约束求解」若跨模块耦合，先单向再双向。布料先撞静地，流体先撞静箱，关节先吊静锚。双向一步到位时，你分不清是 A 推 B 写错还是 B 还力写错。控制变量不是学术，是省生命。 本条对应「02-顺序冲量约束求解」第 4 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 5

睡眠和唤醒属于「02-顺序冲量约束求解」正确性，不只是性能。该醒不醒会穿模，不该醒全醒会卡顿。爆炸查询、关节边、运动学平台都是唤醒图的边。漏一条边，现场像鬼。 本条对应「02-顺序冲量约束求解」第 5 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 6

「02-顺序冲量约束求解」的默认值要进协议版本。改默认迭代次数、默认 dt、默认皮肤半径，旧回放会分叉。版本头拒绝错版本，比静默错乱重放更负责任。 本条对应「02-顺序冲量约束求解」第 6 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

备忘 7

先写 2D 再写 3D 适用于「02-顺序冲量约束求解」里所有几何麻烦事。二维金字塔、二维绳、二维铰链能看见点的增减。三维裁剪 bug 极难看，会让你怀疑人生。二维过了再加一根轴。 本条对应「02-顺序冲量约束求解」第 7 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。

要点串联

• PGS 轮流投影，累计 lambda 钳合法集；单次非负不够。
• 热启动跨帧，静止几乎一轮收敛。
• 摩擦是锥投影不是无限切向弹簧。
• 先子步刷新接触，再加迭代；早停看残差。
• 速度步和位置步分开，避免 bias 造成假弹跳。
• 岛是并行与休眠的接口，现在单线程也可按岛跳过。
• 调参一次动一个旋钮；抖动先查流形和 e 阈值。

下一节把铰链和电机写成同一套速度约束，和接触挤在一次迭代里。