4.3 关节、铰链与限制
4.3 关节、铰链与限制
本节摘要：关节是持久约束：球铰锁三点重合，铰链再锁两根轴的相对旋转，滑移锁旋转留一根平移。写成速度层等式，有效质量和接触相同，只是 lambda 通常不钳在零（可拉可推），角度限制才变成不等式。电机是带目标速度的软约束。关节与接触一起 PGS 迭代，破碎和极限用冲量上限模拟。
阅读收获
阅读完本节，你应当能够：
- 写出球铰的三条位置误差对应的速度约束
- 区分球铰、铰链、滑移、固定关节各锁哪些自由度
- 给铰链加角度限制与电机
- 处理关节和接触抢速度时的发硬、发颤
一、关节是永久的接触，但能拉
球铰：物体 A 上局部点 pA 与 B 上 pB 世界坐标应重合。位置误差 C = xA + rA - (xB + rB)。速度约束希望 vA + wA×rA - vB - wB×rB = -beta * C / dt（偏置把位置误差赶掉）。三个分量三条约束，或一次解 3x3 有效质量矩阵。顺序冲量也可以按 x/y/z 三个方向各一条，像三个能拉能推的接触。
铰链：球铰加上两根正交轴的相对角速度为 0（只留一根轴自由转）。滑移（棱柱）：锁旋转，留一根平移。固定关节：六自由度全锁，等于焊死，可用更便宜的“合成刚体”代替——能合就不要用六约束硬焊，数值更差。
JointBall: handleA, handleB localAnchorA, localAnchorB gamma # 软化 beta # 位置偏置
脚手架上的扣件：球铰像万向接头，铰链像门轴，滑移像电梯导轨。扣件太松，架子晃；太紧（beta 大、无软化），风一来整架抖。关节参数就是扣件松紧。
| 关节 | 锁住的自由度 | 游戏例子 | 实现难度 |
|---|---|---|---|
| 球铰 | 3 平移 | 链条、布娃娃肩 | 低 |
| 铰链 | 3 平移 + 2 旋转 | 门、轮胎转向节 | 中 |
| 滑移 | 2 平移 + 3 旋转 | 活塞、电梯 | 中 |
| 距离 | 1 | 绳、杆 | 低 |
| 电机 | 加在铰链/滑移上 | 电门、载具驱动 | 中 |
| 焊接 | 6 | 临时粘连 | 高，优先合并刚体 |
距离关节就是弹簧的硬版本：沿当前连线一条约束。绳索能松不能压，lambda 只拉不推，又回到互补。第 5.3 节绳索会用一串距离约束或 PBD。
二、限制与电机
铰链角度限制：算出当前相对角，超出区间则加一条不等式，方向沿铰链轴，偏置把角度推回。不要每帧在限位处用很大 e，那会像橡皮筋弹门。限位用 e=0 加偏置。
电机：目标相对角速度 w_target，约束 relative_w_along_axis = w_target，但 lambda 限制在最大力矩对应的冲量里（力矩×dt）。力矩不够时达不到目标转速，这是正确的过载行为。不要无限 lambda，否则电机是无穷力矩，一帧把门甩飞。
软关节：有效质量加 gamma/dt，像弹簧阻尼。布娃娃用软球铰更耐看，硬铰链在拉扯时数值爆炸。柔软程度按动画需求，不要全局一个 gamma。
💡 关键直觉：接触默认“只推不拉”，关节默认“可推可拉”，限位和绳是“只拉不推”。同一套 PGS，合法集合不同。
破碎：累计 lambda 超过阈值则删除关节。要过滤瞬时冲击，用若干帧平均，否则鞭炮式碰撞误碎。删除后唤醒两岛。
三、和接触一起迭代时的坑
门被箱子顶住：接触想把箱子推开，铰链想把门留在轴上。两者合法。若迭代少，门轴会慢慢漂。提高关节约束在列表中的重复次数（每轮解两次关节一次接触）能让轴更硬。反过来，载具悬挂太硬会顶穿地面，应让接触优先或给悬挂更多软化。
⚠️ 常见坑：关节锚点用世界坐标存储，物体一动锚点留在原地，下一帧巨大位置误差，bias 把物体射向远方。锚点必须局部坐标，每帧用当前变换算世界位置。
奇异：两物体共线铰链加另一条共线约束，有效质量矩阵不可逆。检测 K 过小就跳过该分量。固定关节六条约束在数值上接近相关，优先合并刚体。
调试画锚点、画自由轴、画限位扇形。轴漂了先看局部锚点是否写错物体。电机不转先看 lambda 是否顶满——顶满是力矩不够，不是约束写错。
子步里关节和接触一起重新生成位置误差。关节不要隔帧更新，轴会抖。休眠：关节连接的物体必须同岛，一端动全岛醒。这是 6.2 的前置约定，现在实现关节唤醒时就要把两体放进同一唤醒图。
2D 里铰链退化为一个点约束加可选角度限位，非常适合先写。3D 铰链的旋转约束要用铰链轴与两物体局部轴的叉积构造雅可比，写错会锁死错误的轴，门在斜面上“研磨”。用已知门模型：只重力下门应在铰链轴上摆，不应侧倾。侧倾就是旋转约束漏了。
重力对关节：不要在关节里补偿重力，积分已经加了。长链条下垂应呈悬链线状，若链条飞起，多半是偏置符号把误差往错误方向赶。C 的定义和 bias 符号要对着相对速度的定义一起推，不要凭感觉加负号。用静止球铰吊着一个物体，稳定后 lambda 应接近重量冲量。
性能：关节数量通常远少于接触，但每条关节 3–6 行有效质量，比接触贵。布娃娃 15 个球铰仍很小。不要为关节单独上复杂求解器，PGS 够。除非你在做并联机构高精度仿真。
毕业实验：一条门，玩家推，限位挡住，松手后门若有阻尼应停下。再在门前堆箱子，门不应离轴。再给电机开门，碰上箱子应力矩顶满而不是穿模。三连过了，关节这一节才算能接载具轮胎（轮胎往往是铰链加电机加悬挂滑移的组合，5.4 再用）。
四、布娃娃与焊接的工程选择
布娃娃用软球铰加角度限位，不要硬铰链。硬约束在摔倒冲击下需要巨大 lambda，数值爆炸或穿透地面。柔软用 gamma，看起来像有肌肉阻尼。动画混合：走路时关节关掉用动画，摔倒时打开物理，切换要对齐锚点，同 5.4。
焊接两块动态体：优先合并成一个刚体，重算质心惯量。运行时焊来焊去再用六约束，堆木板游戏会抖。真要可拆，焊接约束加冲量上限，超过就断，断后唤醒两岛。
电机开门撞到箱子：力矩顶满，门停在箱子上，不应穿模。若穿过，接触迭代相对关节太弱，提高接触优先级或给电机更小最大力矩。玩法调的是最大力矩，不是 beta。
2D 距离关节当绳：只拉不推，lambda 钳在大于等于 0。松弛时链条下垂。和下节粒子绳的差别是刚体段有转动惯量，观感更“铁链”。粒子绳更便宜。条数少用刚体链，条数多用粒子。
实践问答
锚点世界坐标存一次行不行？
不行。物体一动误差爆炸，bias 射飞。局部锚点每帧变世界。传送时当关节重新初始化，清误差。
电机顶满是 bug 吗？
通常不是，是力矩不够。看 lambda 是否在上限。顶满而门仍该动，才加力矩。顶满却穿模，是接触太软。
固定关节为什么优先合并刚体？
六约束相关，数值差。能焊死就合成一个质量惯量。可拆再上约束加破碎阈值。
长链条飞起是什么符号问题？
bias 与 C 的定义相反，误差往错误方向赶。用静止吊重物对账：lambda 接近重量冲量。对上了再加多节。
关节两端为什么必须同岛？
否则一端睡一端动，轴被撕开。唤醒沿关节传播。实现关节时就把边加进岛图，不要等 6.2 才补。
参数扫描笔记：关节
扫描 1：门侧倾
旋转约束漏轴。验收：只重力下只绕轴摆。
扫描 2：电机无限 lambda
一帧甩飞。最大力矩对应冲量上限。
扫描 3：限位用大 e
橡皮门。限位 e=0 加偏置。
扫描 4：布娃娃硬铰链摔倒
数值爆炸。软球铰加 gamma。
扫描 5：长杆连两堆
两岛变一岛睡眠失效。设计问题也是性能问题。
扫描 6：破碎看单帧尖峰
鞭炮误碎。用平均。
扫描 7：K 过小不跳过
奇异。共线约束要防护。
扫描 8：2D 点铰链未过就上 3D
分不清投影还是旋转约束。先 2D。
工程备忘录
备忘 1
在「03-关节铰链与限制」路径上加计数器要进 step 末尾快照，不要在热循环里格式化字符串。计数器本身若分配内存，你会优化一个被测量污染的世界。发布版可用宏剥掉绘制，但计数器的定义要保留，方便线上开一个极轻的统计开关。 本条对应「03-关节铰链与限制」第 1 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。
备忘 2
「03-关节铰链与限制」一旦和随机数沾边，随机必须绑在 tick 上。墙钟、哈希表遍历、线程完成顺序都是隐藏输入。隐藏输入会让哈希校验在某一帧突然红，而你却以为是公式写错。先排除隐藏输入，再怀疑有效质量。 本条对应「03-关节铰链与限制」第 2 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。
备忘 3
调「03-关节铰链与限制」时一次只改一个量，写下场景名、旧值、新值、醒岛数或能量变化。没有笔记的调参会在一周后变成传说。传说不能回归，不能交给同事，也不能在换库时当合同。 本条对应「03-关节铰链与限制」第 3 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。
备忘 4
「03-关节铰链与限制」的单元测试尽量不依赖图形窗口。能在无头模式跑的断言，才会每次提交都跑。只靠进游戏看一看，等于没有测试。把金字塔睡眠、速度交换、自由落体距离这类金标准写成断言。 本条对应「03-关节铰链与限制」第 4 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。
备忘 5
文档里的公式符号必须和代码注释同一张表。尤其是法向从谁指向谁、相对速度谁减谁、lambda 是力还是冲量。「03-关节铰链与限制」相关代码若混用两套符号，吸引接触和飞天会轮流出现，现场非常像随机 bug。 本条对应「03-关节铰链与限制」第 5 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。
备忘 6
性能上先问能不能少做。「03-关节铰链与限制」再快，也快不过把睡着的岛整岛跳过、把碎片到期删掉、把静态体移出动态表。减工作量优于把同样工作向量化。向量化平方算法只是错得更稳更快。 本条对应「03-关节铰链与限制」第 6 号备忘，和相邻条目不要合并成一句空话，分开验收。
温故知新
- 球铰锁点重合，铰链再锁两轴，滑移锁旋转；能合并刚体就不要六约束焊接。
- 锚点存局部；世界误差每帧重算，bias 赶位置。
- 电机有限力矩；限位是不等式且 e=0。
- 接触与关节的迭代顺序影响谁更硬，按对象调，可重复解关节。
- K 过小跳过；破碎看平均冲量不是单帧尖峰。
- 关节两端必须同岛同唤醒。
- 2D 点铰链先做对，3D 用“门只绕轴摆”验收旋转约束。
下一章离开纯刚体：软体、流体、布料、载具和角色，用位置约束或专用控制器，不再强求一个 PGS 走天下。