3.2 态射与函数的拉回

3.2 态射与函数的拉回

簇与簇之间的映射千千万，凭什么说其中一些"保持了代数结构"？判据出人意料地谦逊：不看它把点搬到哪，先看它怎么搬运函数。一支映射箭头配上反向的函数搬运箭头，正反合读，这就是本节的全部机关——它也是现代数学"用函数定义结构"思路的第一次正式亮相，第 7 章的概形语言把这套思路推到极致。

态射：仿射簇 V 到 W 的映射 φ 称为态射，若它由坐标多项式给出（每个坐标函数都是正则函数）。每个态射自带一个拉回 φ*：k[W] → k[V]，规则是 g ↦ g∘φ（把 W 上的函数 g 先经 φ 搬到 V 上）。φ 是同构，当且仅当 φ* 是环同构。

一、正向搬点，反向搬函数

方向感是本节唯一要过的坎，用具体例子把它钉死。设 φ : A¹ → A²，t ↦ (t, t²)，像是一条抛物线。取 W 上的函数 g = y，搬回 A¹ 得到什么？g∘φ = t²。整个搬运只有一行：

φ*(y) = t²，φ*(x) = t

注意两条规律。其一，φ* 自动是环同态：保持加法、乘法、常数——因为函数的复合天生如此。其二，φ* 知道 φ 的一切：从 φ*(y)=t²、φ*(x)=t 读出 φ 的两个坐标分量。于是判定一座映射是否"代数上规矩"，只需检查拉回是否把正则函数送到正则函数；反过来，只要给出一个环同态 k[W]→k[V]，一支态射就被完全确定。几何与代数在"映射"这一层也咬合成对偶：

中间一行的"极大理想被拉回"值得手动验证一遍：φ(t)=(t,t²)，点 Q=(2,4) 的理想 m_Q=⟨x−2, y−4⟩ 在 k[t] 里的原像是什么？把 x 换成 t、y 换成 t²，得 ⟨t−2, t²−4⟩=⟨t−2⟩——正是 P=2 的极大理想。点被送到了 (2,4)，理想被拉回了 (2)。方向相反，信息一致。

图：一支箭头，两种读法

        几何侧（正向搬点）              代数侧（反向搬函数）
         A¹  ──────φ──────▶  A²          k[t]  ◀──φ*──────  k[x, y]
          t  ↦  (t, t²)                    t ◀─ φ*(x)=x∘φ = t
                                            t² ◀─ φ*(y)=y∘φ = t²

        读法：要知道 φ 是否规矩，检查 φ* 是否把正则函数
              送到正则函数；要复原 φ，读 φ* 的每个分量。
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二、参数化：态射的第一个战果

态射立刻派上用场——参数化就是从标准簇出发的态射。抛物线的例子已经暗示了：t ↦ (t, t²) 是 A¹ 到 V(y−x²) 的同构（逆映射 (x,y) ↦ x 即可，拉回互逆）。稍微费劲一点的经典例子是圆的固有问题"有理参数化"。取单位圆上定点 (−1, 0)，过它作斜率为 t 的直线，与圆的另一个交点是：

x = (1 − t²) / (1 + t²)，y = 2t / (1 + t²)

把两式代入 x²+y²，分子化为 (1−t²)² + 4t² = (1+t²)²，恰好等于分母——等式成立，这个有理映射确实落回圆上。注意两件事：分式出现了，说明这已经是 3.3 节"有理映射"的领地（分母 1+t² 在 t=±i 处消失，复数域上躲不开）；以及它恰好在第 6 章研究椭圆曲线群律时再度登场——同一招"直线切曲线取交点"会变成椭圆曲线上的加法作图。

参数化的反面教材同样是态射课的内容：不是每条曲线都容许多项式参数化。3.3 节会看到尖点曲线可以（带一点代价），而椭圆曲线 y²=x³−x 根本不可以——它的函数域不是 k(t)，这一"不可参数化性"是亏格在一维的第一道影子，也是椭圆曲线比抛物线深一个层次的技术原因。

三、动手：验证一个拉回是同构

代码环节做机械验证：对 φ(t)=(t, t²)，检查拉回的像生成整个 k[x,y]/(y−x²)，从而确认同构。用伪 Groebner 思路写概念代码：

# 验证 t -> (t, t^2) 给出 A^1 与 V(y - x^2) 的同构（概念演示）
# k[V] = k[x, y] / <y - x^2>，其中 y 恒等于 x^2
# 拉回 phi*: x -> t, y -> t^2

def reduce_in_quotient(poly_terms):
    """在 <y - x^2> 商环中把 y 降为 x^2，反复代入直至无 y。
    poly_terms: 系数字典 {(a, b): c} 表示 c * x^a * y^b"""
    out = {}
    for (a, b), c in poly_terms.items():
        # y^b = (x^2)^b 在商环中
        key = (a + 2*b, 0)
        out[key] = out.get(key, 0) + c
    return {k: v for k, v in out.items() if v != 0}

# 任取一个多项式：f = x*y + y^2 - 3
f = {(1, 1): 1, (0, 2): 1, (0, 0): -3}
print(reduce_in_quotient(f))
# {(1, 0): 1, (4, 0): 1, (0, 0): -3}  即 x + x^4 - 3
# 像只含 x 的幂，而 x 的像为 t：拉回是满射，配合单射即同构
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读法：商环里任何元素都化成 x 的多项式，而 x 的像是 t，说明拉回的像撑满 k[t]；两个环都由一个变元生成、映射可逆（t ↦ (t,t²) 与 (x,y) ↦ x 互逆），同构成立。真实系统里这类化简由格罗布纳基自动完成，7.2 节再会。

再补一个"多对一"的标本，把它看穿：投影 π : 双曲线 xy=1 → A¹，(x, y) ↦ x。每个 a ≠ 0 的纤维（被送到 a 的全体点）是 { (a, 1/a) }，单点；纤维 a=0 是空集——0 不在双曲线的 x 取值里。这个"一根纤维缺席"的现象在仿射世界像个 bug，射影闭包后消失：π 升级为 P¹ → P¹，无穷远点的纤维补齐为单点，映射变成"有理函数 t ↦ t 的同构"。**态射的性质要看纤维，纤维要看射影闭包**——两句话是本章方法论的全部遗产，第 4 章数次数时纤维计数会正式上岗。

四、易错点与本节位置

三个易错点。其一，拉回方向别画反：φ : V → W 时 φ* 从 k[W] 到 k[V]，口诀"函数往回拽"。其二，态射只保证连续与代数规矩，不保证单射或满射——参数化常常把多个 t 送到同一个点（上面的有理参数化里 t 与 −1/t 的像不同，但 t 与它的复共轭伙伴在实图上会重叠投影），态射的"多对一"信息由第 4 章的次数接管。其三，同构比双有理等价严格：3.3 节的尖点例子与直线等价却不同构，差的那口气恰恰吐在奇点上——这为第 5 章留下了完美的悬念。

本节在知识体系里的位置：函数库有了，函数的搬运规则定了，"簇的本质相同"仍未定义。下一节放行分母、引入函数域，让尖点与直线的亲戚关系正式入册，同时把"哪里不能等价"的病灶暴露给第 5 章去诊断。