4.2 次数与贝祖定理
4.2 次数与贝祖定理
别以为交点可以靠眼睛数。两条二次曲线画在纸上，你数出两个交点；换一张稍大点的纸，一条分支拐进纸外，你数出三个；再等复数域把藏起来的交点吐出来，总数忽然变成四个。十九世纪的几何学家面对的就是这笔糊涂账，而贝祖定理是它的总决算：**只要舞台对（射影平面）、条件对（无公共分支）、口径对（计重数），交点总数就是次数的乘积，一次不多、一次不少。**本节先把"次数"定量，再结算三笔具体账。
次数：平面曲线的次数是其齐次方程的总次数。等价刻画：次数 d 的曲线与不在其上的一般直线恰交于 d 个点（计重数）。贝祖定理：射影平面上，m 次曲线 C 与 n 次曲线 D 若无公共分支，则交点总数（每点计重数）恰为 m·n。
一、次数：与一般直线对表
次数的定义写在方程上——二次的圆、三次的尖点——但它真正的量纲是"与直线过招的战绩"。一般直线（避开特殊位置的直线）与 d 次曲线相交，把直线参数代入曲线方程，得到一个一元 d 次多项式；代数闭域上一元 d 次多项式恰有 d 个根（计重数），于是交点恰 d 个。这就是"次数=与一般直线的交点数"的证明骨架，也是第 1 章以来反复出现的"代数闭域"第一次显示肌肉：根的个数定理在实数域上不成立，整座计数大厦随之塌方。
特殊直线呢？切线就是特殊直线：直线与圆相切时交点"看起来"只有一个，但代入方程得一元二次方程的重复根——同一个点被数了两次。这个"重复"不是 bug，而是需要正式立项的概念：交点重数。它与 5.1 节的切空间同根同源，本节先用代入法把重数算出来。
二、三笔账：从 2×2 到 3×3
**第一笔：圆 × 双曲线（2 × 2 = 4）。**联立 x²+y²=1 与 xy=1，消去 y 得 x⁴ − x² + 1 = 0。实数域上无根（实图不相交，1.1 节的图早就预警）；复数域上四个根各不相同，配出四个交点。账目 4 = 2×2，分文不差——**四份里有两份是实图上完全看不见的复交点**。这就是为什么贝祖定理必须以代数闭域为前提：不是定理宽容，是实图记性不好。
**第二笔：圆 × 切线（2 × 1 = 2）。**直线 y=1 与圆相切于 (0,1)。代入得 x² + 1 = 1，即 x² = 0，二重根——重数 2。几何语言："相切"是两个交点挤在了一起。挤没挤、挤几层，眼睛不可靠，代入法一锤定音。
**第三笔：尖点 × 自己的切线（3 × 1 = 3）。**尖点 y²=x³ 在原点的切线是 y=0（x 轴）。代入 y=0 得 x³=0，三重根——重数 3。一次相交吞掉了整份三次的额度。尖点的"尖"在计数上留下的就是这道三重印：**奇点不止影响长相，还直接改写数数规则**。第 5 章诊断奇点时，重数是核心体征之一。
图：贝祖的账本——3×3=9 与重数修正
三、贝祖定理的精确表述与三个前提
把定理连同它的每个保险丝一起装订：
定理（贝祖）：设 C、D 是代数闭域上射影平面里的曲线，次数分别为 m、n，且 C 与 D 没有公共分支。则 C ∩ D 中每个点 P 都带有正整数重数 mult_P(C, D)，且
Σ mult_P(C, D) = m·n
三个前提各自堵住一个反例，缺一不可：
- 射影舞台（缺了它）：仿射平面上 y=0 与 y=1 平行，账目 0 ≠ 1；第 2 章补上的无穷远点让这笔账在 Z=0 处结清。凡是"数出来比 m·n 少"，先查有没有交点被无穷远吃掉。
- 无公共分支（缺了它）：y=0 与 xy=0"相交于整条直线"，有限个交点的框架直接崩塌；公共分支必须先约掉再数。
- 计重数（缺了它）：圆与切线"看得见"的交点是 1，账却该记 2；重数是把挤扁的交点重新展开的会计科目。不计重数的版本没有任何整齐公式可言。
重数怎么算？本节统一用代入法：消元后看根的重复层数。严格的代数定义（局部环维数、或结式的零点阶数）与代入法在平面曲线情形完全一致，想深挖的读者可在第 5 章切空间之后回头补刀。
四、3×3=9 的华丽应用
两笔总账的推论精彩得不像话。设两条三次曲线 C₁、C₂ 交于九个点（一般位置）；再取任一条恰好穿过其中八个点的三次曲线 C₃，凯莱-巴赫拉伯定理断言 C₃ 必然穿过第九个点——"过八点必过第九"像是几何在白送魔法，其实只是 3×3=9 加上线性空间维数的算术：三次曲线的单项式空间维数是 10，过八个点用掉八个线性约束，剩二维的解空间，其中 C₁、C₂ 张成整体，第九个点被代数地焊死。这条"九点定理"是代数几何"计数决定结构"哲学的第一座纪念碑，往后的潘加莱定理、余维数条件，都是同一哲学在不同维度的回响。
第四笔：抛物线与切线——相切的又一副面孔
y = x² 与直线 y = 2x − 1。代入：x² = 2x − 1，即 (x−1)² = 0——二重根，重数 2，切点 (1, 1)。账目 2 = 2×1 ✓。与圆的切线账对照：圆的相切源于"直线贴着圆走"，抛物线的相切源于"直线恰好擦着顶点旁的斜率"——几何剧本不同，代数判决相同：代入后多项式出现重根，重根的重复次数就是重数。重数不认剧本只认代数，这句冷面无情的话正是它可靠的原因。
顺手把"切线方程"预演一步（5.1 节的正式舞台）：y=x² 在 (1,1) 的切线为什么偏偏是 y=2x−1？求导得斜率 2；但更本源的看法是——它与抛物线的交点重数为 2 的直线里，唯一"贴着不穿过"的那条。**切线 = 与曲线交得"最重"的直线**，这个定义在奇点处依然工作（尖点 y²=x³ 在原点的切线 y=0 交出重数 3），为第 5 章备好了接口。
五、易错点与本节位置
三个易错点。其一，重数取最小值的地方是"横截"交点（两曲线在该点切线不同）：横截点重数 1，相切重数至少 2，尖点处可到 3；别把"看起来只碰一下"当成重数 1 的证据。其二，贝祖给出的是总数不是分布：交点可以是复点、可以在无穷远、可以挤成一团，定理只保证总和。其三，实图上"少交点"不是定理失效，是实数域没资格出场——先换复数域对账，再回头解释实图。
三个易错点之外，补一条对称性备忘：mult_P(C, D) = mult_P(D, C)——"C 切 D"与"D 切 C"是同一件事的两种说法，账本不认先后顺序。以及一条口径备忘：贝祖定理数的是交点集（每点记一次、携带总重数），不是"代入法根的条数"——两曲线在一点交出重数 2 与 3，账面是一个点配重数 5，别拆成两行；重数 5 的口径要用局部代数（交概形长度）来读，7.1 节的概形语言会把它转正。
本节在知识体系里的位置：数数框架落成。但"重数 2、重数 3"毕竟是从代入法倒推的，它们到底测的是曲线在哪里的什么性质？下一章给切空间开镜：切线不同是横截、切线重合是相切、切空间本身塌缩才是奇点——判据将是干净的线性代数。