5.1 切空间判据

5.1 切空间判据

别以为切线只是"贴着曲线画上去的一条线"——那是中学视图里的皮毛。切线真正身份是一阶近似：把方程在一点附近做泰勒展开，线性部分单独成图，那张图就是切空间。这个视角立刻把"光滑"从视觉问题改写成代数问题：一阶近似有没有资格代表原曲线？判据一行——切空间维数对不对得上簇的维数。本节把判据造出来，然后当场拿全册的老朋友们开刀。

切空间：设 V 是 f(x₁,…,xₙ)=0 型超曲面，P 是 V 上一点。在 P 处展开 f，保留一次项得到的线性方程称为切方程，其零点集是 P 处的切空间 T_P V。梯度判据：P 光滑 ⟺ 梯度向量 (∂f/∂x₁,…,∂f/∂xₙ) 在 P 处非零。

一、泰勒展开的一次项说了算

以圆 f = x² + y² − 1 为例，在点 P=(1/√2, 1/√2) 处展开。常数项 f(P)=0（点在曲线上，自动成立），二次项是高阶小量，真正说话的是一次项：

∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y，在 P 处梯度为 (√2, √2)

切方程：√2·(x − 1/√2) + √2·(y − 1/√2) = 0，化简得 x + y = √2——一条斜率 −1 的直线，与图像上圆在该点的切线完全一致。梯度非零，P 光滑，切空间是一条直线，维数 1 = 圆的维数，判据通过。

三个观察值得记录。其一，切方程只依赖梯度，梯度是偏导数矩阵——光滑判定全程线性代数，不需要任何图像。其二，梯度向量恰好是切线的法向：切空间是梯度的零化核，"法向给了，切向就定了"。其三，常数项与二次项的缺席不是巧合：常数项保证点在簇上，二次项以上属于"弯曲信息"，一阶近似看不见它们——第 4 章的重数正是藏在二次以上的层里，稍后回收这条伏笔。

图：梯度判光滑——光滑点与奇点的对峙

二、一般判据：雅可比矩阵的秩

超曲面之外，方程组的判据只多一步矩阵化。设 V 定义于方程组 f₁=…=f_r=0，在点 P 处把所有梯度排成雅可比矩阵 J(P)，则：

P 是 V 的光滑点 ⟺ rank J(P) = n − dim V（n 是环境空间维数）

用三个例子把判据跑热。其一，十字线 xy=0 在原点：f=xy，梯度 (y, x) 在原点取 (0,0)，奇异——两轴交叉处一阶近似彻底失灵。其二，尖点 y²=x³ 在原点：f=y²−x³，梯度 (−3x², 2y) 归零，奇异。其三，椭圆曲线 y²=x³−x 在 (1,0)：梯度 (−3x²+1, 2y) 取 (−2, 0) ≠ 0，光滑，切方程 −2(x−1) = 0 即竖直线 x=1——竖直切线在仿射图里看着别扭，射影坐标下毫无特殊，又一次说明换卡与射影视角的解毒作用。

雅可比判据还有个隐藏福利：它对奇点的"数量"有天然的预算。光滑点构成开集，奇点集是剩余的代数闭子集，维数严格更低——对曲线而言就是有限个点。所以奇点永远稀少、可以逐个歼灭；这个"光滑开集 + 奇点有限"的工作格局贯穿曲线论与曲面论。

三、动手：写一个通用判定器

把判据落成三十行概念代码，任意平面曲线上的任意点都能判：

from math import isclose

def grad(f_coeffs, x, y):
    """f_coeffs: 字典 {(a, b): c} 表示 c * x^a * y^b。
    返回 f 在 (x, y) 处的偏导数值对。"""
    gx = sum(c * a * x**(a-1) * y**b for (a, b), c in f_coeffs.items() if a >= 1)
    gy = sum(c * b * x**a * y**(b-1) for (a, b), c in f_coeffs.items() if b >= 1)
    return gx, gy

def is_smooth_at(f_coeffs, x, y):
    """平面曲线 f=0 在点 P 的光滑性：梯度非零 ⟺ 光滑。"""
    gx, gy = grad(f_coeffs, x, y)
    return not (isclose(gx, 0, abs_tol=1e-9) and isclose(gy, 0, abs_tol=1e-9))

cusp = {(2, 0): -1, (0, 2): 1}     # y^2 - x^3? 注意: 这里 -x^3 需三次项
cusp = {(3, 0): -1, (0, 2): 1}     # y^2 - x^3
print(is_smooth_at(cusp, 0, 0))    # False：原点奇异
print(is_smooth_at(cusp, 1, 1))    # True：(1,1) 在曲线上且光滑

circle = {(2, 0): 1, (0, 2): 1, (0, 0): -1}   # x^2 + y^2 - 1
print(is_smooth_at(circle, 0.7071067811865476, 0.7071067811865476))  # True
​

注意判定前先确认点在曲线上（f(P)=0），判据只对簇上的点说话。三维以上的方程组版只需把梯度对换成雅可比矩阵、再补一行秩计算，思路不变。

补算一例：双曲线的切线与法线

把判据走成完整流程：双曲线 f = xy − 1 在点 (1, 1)。梯度 = (y, x) = (1, 1) 非零，光滑。切方程 1·(x−1) + 1·(y−1) = 0，即 x + y = 2——斜率 −1，与图像上双曲线在 (1,1) 处"外鼓"的方向一致。核对第 4 章口径：直线 x+y=2 代入曲线，消 y 得 x² − 2x + 1 = (x−1)²，二重根——切线的重数 2 特征再次对表。顺带可得法线（垂直于切线的直线）：斜率 1，方程 y = x，它穿过原点——双曲线 xy=1 关于 y=x 对称（x、y 互换方程不变），法线方向恰是对称轴。一处小小的判据计算，串起了第 2 章（重数）、第 3 章（对称与自同构）与本节，这便是工具咬合的手感。

四、易错点与本节位置

三个易错点。其一，梯度为零只是"嫌疑"，对超曲面它确凿定罪；但对一般方程组，还要核对维数口径——rank 掉到 n−dim V 以下才是奇异，别把"行列式为零"当万能公式。其二，切空间可能"过大"而非"过小"：十字线原点的切方程是 0=0，整个平面都是切空间，维数 2 > 簇维数 1——切空间塌缩与爆炸都是病，症状不同病灶相同。其三，光滑性是内蕴性质，与具体方程写法无关：同一个簇换个定义方程（乘个常数、加个幂），梯度数值全变，"是否为零"的判定结果不变——这正是判据配得上"几何"二字的原因。

本节在知识体系里的位置：显微镜开镜。下一节把标本逐个上镜：结点（两支切线）、尖点（重切线）、孤立点（实图孤岛），顺带把 xy=0 这类"假奇点"（可约而来）与"真奇点"（不可约自带）的身份差异讲透。