5.1 合作解概念与核

5.1 合作解概念与核

本节摘要：本节是合作传统的大门。先把"谁跟谁能做成什么"写成特征函数，再把"分法"定义成分配向量，最后给出最保守的稳定性标准——核：一个分配若被任何子联盟一致否决，它就进不了核。三人多数博弈将演示核可以完全为空，三人合伙分账案例则完整走一遍核检验与夏普利值账单。读完本节，你拿到任何联盟情境都能先问一句：它的核在不在。

一、特征函数：合作博弈的账本

合作博弈把参与者集合 N 与一个特征函数 v 作为起点：v(S) 是联盟 S 不靠外人能保证实现的总收益（或省下的总成本）。两个技术约定先立好：空联盟产出为零；若收益单位在成员间可以转移（钱就是典型），称可转移效用博弈，本节默认此设定。账本一立，问题就变成在 v 的数值约束下选一个分配向量 x：满足总账平衡（成员所得之和等于大联盟产出）与个体理性（每人所得不低于单干产出）的分配叫 imputations——它是全部"合法分法"的集合。

核（core）在 imputations 之上再压一道联盟理性：对每个子联盟 S，x 的分给都不低于 S 自己单干的 v(S)。核的语义直白：没有任何小团体能通过集体退出而人人变好。核若非空，里面的每个分配都是"拆不动"的；核若为空，说明无论怎么分，总有人拉着伙伴出走——合作在结构上就锁不住。

二、空核警报：三人多数博弈

最小的反例只要三个人。议会式博弈：三票中两票即通过，通过得总收益 1，v(任意两人及以上) = 1，单人皆 0。假设分配 x 在核里：三人合计得 1。任取两人，比如甲乙，他们合计至多得 1；若小于 1，甲乙可以组队自己瓜分 1，各自变好——x 被否决；若恰好等于 1，则丙得 0，甲丙组队瓜分 1，两人各得 0.5，丙反正是 0，甲从 0.5 升到至少 0.5 减 0——只要给丙的份额大于 0，甲总能换个搭档拿到更多。逐对检验，每个分配都会被某对联盟否决：核是空集。结构病因在于"人人可替代又人人可组合"：胜利联盟可以无限换人，谁都无法锚定一个不会被踢出去的分法。现实对应物是多党制里程序性投票的无限循环，以及合伙人人数恰好势均力敌的僵局。

图 5-1：核为空与非空的对照示意

三、案例推演：三人合伙的分账与拆伙风险

背景。甲有独门配方，单独开业年利润 40；乙有门店，单独经营年利润 20；丙只有资金，单干无产出。甲乙合作可得 100，甲丙可得 60，乙丙可得 40，三人合体可得 150。资金与配方、门店互补，典型的大联盟有加成。三人商谈合伙分成。

操作。先写核的约束组：x甲 + x乙 + x丙 = 150；个体理性给 x甲 ≥ 40、x乙 ≥ 20、x丙 ≥ 0；两两联盟理性给 x甲 + x乙 ≥ 100、x甲 + x丙 ≥ 60、x乙 + x丙 ≥ 40。解这组不等式：由 x甲 + x乙 ≥ 100 与总账得 x丙 ≤ 50；由 x甲 + x丙 ≥ 60 得 x乙 ≤ 90；由 x乙 + x丙 ≥ 40 得 x甲 ≤ 110。核就是这些平面围出的多边形。取一点验证：x甲 = 80、x乙 = 50、x丙 = 20，六个约束全部满足，是核内的分配。再算夏普利值做参照：对每位参与者，枚举全部六种加入次序，取"加入时新增产出"的平均。甲的六个边际贡献依次为 40、40、80、110、60、110（首位加入带来单干值 40，甲乙组合在乙首位后再加入添 80，末位加入补足 150 减 40 的 110 等），均值 73.3。同法乙为 20、20、60、40、90、90，均值 53.3；丙为 0、0、20、20、50、50，均值 23.3。三人份额合计恰为 150，对上总账。

结果。核是一个多边形区域（无穷多拆不动的分法），夏普利值 73.3、53.3、23.3 是其中一个既在核内又"按贡献说话"的分配。实际谈判常落在核内偏夏普利值的位置：核保证不被拆伙，夏普利值提供公平叙事。

解读。两个解概念分工明确：核回答"哪些分法安全"，是谈判的可行域；夏普利值回答"哪些分法公道"，是谈判的锚点。要注意夏普利值并不总在核里——空核博弈里根本没有核；而在本例这类凸博弈里，夏普利值必在核内，公平与稳定自动兼容，这个定理是 5.3 节的主角。另外注意账本的单位假设：利润可转移才谈得上瓜分，若是不可转移的效用（甲要名乙要闲），要换不可转移效用博弈的分析框架。

变式。丙若融资买到第二条门店，v(丙) 从 0 升到 20 且三人值升到 170，重算夏普利值，丙的份额跳升幅度大于资产表面价值——互补资产的边际价值被联盟放大，这正是并购溢价与平台补贴的算法内核。

五、解概念速查与一条议会的注脚

四个解概念不是竞争者，是四台不同量程的仪器。快速诊断的价值在一例：欧盟理事会的加权投票研究里，分析者用权力指数（与夏普利值同源的枚举思路）测出"名义票权"与"实际决定权"的严重错位——某些票数不少的国家在多数联盟里的摆票价值接近于零，某些小国反而握有不成比例的关键票。名义规则与实际权力之间的这张账，正是合作博弈工具最擅长翻开的页。你自己做联盟分析时的最小工作流：先画特征函数，再看核空不空，然后用夏普利值给锚，最后用讨价还价解预测成交偏差。

本节要点回顾

• 要点一：特征函数是合作博弈的账本，imputations 是合法分法集合，核是拆不动的分法集合。
• 要点二：三人多数博弈证明核可为空——人人可替换的胜利结构让任何分配都露着被拆的软肋。
• 要点三：合伙案例里核给可行域、夏普利值给锚点，实际协议常落在核内靠锚点一侧。
• 要点四：互补性越强，大联盟加成越大，核越饱满，公平解与稳定解越容易合流。
• 要点五：四台仪器各司其职——核测安全、夏普利值测公道、讨价还价解测过程、稳定集测复杂联盟政治，先诊断再选用。