1.3 连续与离散：微积分在图形学里的角色

1.3 连续与离散：微积分在图形学里的角色

本节摘要：几何模型是连续的——曲线有无限多点、曲面有无限多法线；屏幕是离散的——有限像素、有限帧。这个矛盾是图形学一切采样问题（锯齿、闪烁、摩尔纹）的总根源。本节用参数曲线的导数、法向量的求法、弧长与变化率三个具体工具，说明微积分思想如何渗透进光栅化、光照与动画。它是第 3 章走样与第 7 章积分渲染的理论伏笔。

学习目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 用参数方程表示曲线，并对参数求导得到切向量
2. 由切向量推出二维曲线的法线、三维曲面的法线
3. 解释"采样不足导致走样"的机制，说出抗锯齿的两条思路
4. 说明数值求导与解析求导在工程中的取舍

连续信号被离散采样的三种命运

先看一个现象

用直线连接圆周上的 8 个点，画出来的是八边形；提高到 64 个点，看起来就是圆了。圆是连续的，采样点是离散的，点越密越接近真相。屏幕做的是同一件事，而且做得更粗暴：几何连续、像素有限，于是斜线边缘出现楼梯，细纹理出现水波纹。这些瑕疵的学名都叫"走样"（aliasing），意思是连续信号的高频细节"伪装"成了低频图案。

理解走样，只需要一个直观模型：用间隔为 T 的采样点去测一个周期小于 2T 的信号，采到的点会拼出一个根本不存在的慢波。奈奎斯特采样定理说，采样率至少要达到信号最高频率的两倍才能还原原信号；图形学的信号频率可以任意高（一条理想直线的边缘是阶跃，频率无穷大），所以严格的抗锯齿不可能，只能缓解。缓解的两条思路——先模糊再采样（预滤波）、每个像素多采几次（超采样）——将在第 3 章展开，这里先把数学工具备齐。

参数曲线与切向量

曲线最方便的表示是参数方程：点随着参数 t 流动。

直线段  P(t) = A + t·(B - A)，         t 从 0 到 1
圆      P(t) = (r·cos t, r·sin t)
贝塞尔  P(t) = Σ Bernstein 基 × 控制点， 见 3.4 节
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对 t 求导得到切向量——导数在这里的几何意义是"参数走一小步，点往哪个方向挪、挪多快"：

圆的导数：P'(t) = (-r·sin t, r·cos t)
在 t=0 处：P=(r,0)，P'=(0,r)，切向竖直向上，与半径垂直，符合直觉
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有了切向量，法线一步可得。二维里把切向量旋转 90 度；三维曲面则用两个方向切向量的叉积：

import numpy as np

def sphere_point(u, v, r=1.0):
    # 球面参数化：u 经度，v 纬度
    return np.array([r*np.cos(v)*np.cos(u), r*np.cos(v)*np.sin(u), r*np.sin(v)])

def sphere_normal(u, v, r=1.0, h=1e-5):
    # 数值求导：两个方向的切向量做叉积得法线
    du = (sphere_point(u+h, v, r) - sphere_point(u-h, v, r)) / (2*h)
    dv = (sphere_point(u, v+h, r) - sphere_point(u, v-h, r)) / (2*h)
    n = np.cross(du, dv)
    return n / np.linalg.norm(n)

print(sphere_normal(0.3, 0.4))
# 输出约 [0.825 0.256 0.505]，与该点坐标方向一致（球面法线过球心向外）
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球面法线其实有解析解（就是点的单位化坐标），上面用数值导数是为了展示通用套路：模型文件通常只存三角形网格，没有解析曲面，法线要么顶点带一份插值，要么现场用边向量叉积算——本质都是求导思想的落地。

变化率：动画与缓动的心跳

导数即变化率，这句话在动画里字面成立。物体的位置对时间求导是速度，速度再求导是加速度。补间动画如果只用线性插值，物体会以恒定速度突兀地开始和停止；给参数做一个平滑的缓动函数，位置曲线在起止点的导数为 0，运动就有了"加速—巡航—减速"的自然感：

import numpy as np

def ease_in_out(t):
    # 三次多项式缓动：起止点的导数为 0，速度平滑过渡
    return 3*t*t - 2*t*t*t

# 对比线性插值与缓动插值在 t=0.1 处的推进速度
ts = np.linspace(0, 1, 11)
lin = ts                     # 线性：每步推进 0.1
eas = [round(ease_in_out(t), 3) for t in ts]
print(list(zip(np.round(lin,2), eas)))
# 输出前几对：(0.0,0.0)(0.1,0.028)(0.2,0.104)(0.3,0.216)
# 缓动版起步慢、中段快、结尾慢，位移差分即速度
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这个小小的缓动函数是第 7 章关键帧动画的基石。同样地，粒子系统、物理模拟的每一步积分（欧拉法、 Verlet 积分）都是"用离散时间步逼近连续时间演化"，离散步长选太大，模拟会爆炸——又一个连续与离散矛盾的实例。

积分思想：从面积到渲染方程

积分在图形学里也有正业。曲线下面积对应弧长计算（路径动画让物体匀速沿曲线走，就必须按弧长重参数化）；更重要的是，第 5 章会讲到，一个表面接收到的光照本质上是半球面上无穷多入射方向的积分——渲染方程。实时渲染用几个方向采样近似这个积分，离线渲染的路径追踪则随机采几千个样本求平均。数值积分的蒙特卡洛思路："随机采样求平均逼近期望"，将在 7.1 节光线追踪里正式登场。

import random, math

def monte_carlo_pi(n=100000):
    # 蒙特卡洛积分的最小示例：随机撒点估算圆周率
    hit = sum(1 for _ in range(n)
              if (random.random()-0.5)**2 + (random.random()-0.5)**2 <= 0.25)
    return 4 * hit / n          # 正方形面积 1，圆面积 π/4，比例 ×4 即 π

print(monte_carlo_pi())   # 输出约 3.14x，误差随样本数按 1/√n 收敛
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本节要点回顾

• 连续与离散的矛盾是锯齿、闪烁、摩尔纹的共同根源，严格消除不可能，只能缓解
• 导数给方向：切向量、法线、速度与加速度，全是求导的不同马甲
• 法线的工程来源：解析式、顶点插值、边向量叉积三条路
• 缓动即导数控制：起止点导数为 0，动画才不像机械
• 积分即累积：弧长、光照半球积分、蒙特卡洛估计，一条思想线通到第 7 章

第 1 站到站。数学语言备齐后，第 2 章先看像素未来的家——屏幕与颜色的物理世界。