1.2 坐标系与齐次坐标：变换的代数机器
1.2 坐标系与齐次坐标：变换的代数机器
本节摘要：齐次坐标用四个分量表示三维点，把平移、旋转、缩放统一进 4×4 矩阵乘法，是整条渲染管线最底层的代数机器。本节讲清它为什么存在、常见变换矩阵的排布规律、组合顺序的坑，以及"法线矩阵"这个高频错误点。承接 1.1 的矩阵乘法，直接通向第 4 章的相机与投影矩阵。
本节能力目标
阅读完本节，你应当能够：
- 解释齐次坐标第 4 个分量 w 的含义，完成点与方向的齐次表示
- 写出平移、缩放、绕三轴旋转的 4×4 矩阵
- 说明变换组合顺序从右向左生效的原因，并预测先缩放后平移与反序的差异
- 说出为什么变换法线要用逆转置矩阵
从一个具体故障说起
初学者常遇到这样的场景：模型在原点放得好好的，一加平移，法线全歪了，光照出现诡异亮斑。原因不在代码错误，而在代数结构：三维空间里，平移是加法，旋转缩放是乘法，两种运算没法揉进同一个 3×3 矩阵。如果管线里每步变换要在"乘一个矩阵"和"加一个向量"之间切换，硬件与代码都会变得臃肿。
解法很聪明：升一维。给三维点补上第 4 个分量 w，平移就变成了矩阵乘法的一部分。一个矩阵走天下，管线里的每个阶段都是"顶点乘矩阵"，GPU 最喜欢这种整齐划一的计算。
齐次坐标的规则
点 (x, y, z) → (x, y, z, 1) 方向 (x, y, z) → (x, y, z, 0) w ≠ 1 时等价于除以 w：(x, y, z, w) ≡ (x/w, y/w, z/w, 1)
w=1 与 w=0 的区分正是 1.1 节"点与方向"的代数化：平移矩阵作用在 w=0 的方向上时，平移项乘以 0 自动失效——方向不该被平移，齐次坐标从机制上保证了这一点，而不是靠程序员小心。
除以 w 这一步看似奇怪，实则是透视投影的灵魂：近大远小，就是把坐标除以深度。第 4 章会看到，透视矩阵的核心输出就是一个与深度成正比的 w。
常用 4×4 变换矩阵
平移 T(tx,ty,tz)： 缩放 S(sx,sy,sz)： 1 0 0 tx sx 0 0 0 0 1 0 ty 0 sy 0 0 0 0 1 tz 0 0 sz 0 0 0 0 1 0 0 0 1 绕 z 轴旋转 Rz(θ)： cosθ -sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
排布规律值得记：左上 3×3 负责线性部分（旋转缩放），第四列负责平移，第三行在正交变换下保持 (0,0,0,1)。旋转矩阵每列其实是旋转后基向量的落点——第一列就是 x 轴转到了哪里，这也是"矩阵的列是新坐标系"这一直觉的来源。
import numpy as np def translate(tx, ty, tz): # 平移矩阵：第四列为平移量 T = np.eye(4); T[0,3], T[1,3], T[2,3] = tx, ty, tz return T def rot_z(deg): # 绕 z 轴旋转 r = np.radians(deg); c, s = np.cos(r), np.sin(r) R = np.eye(4); R[0,0],R[0,1],R[1,0],R[1,1] = c,-s,s,c return R p = np.array([1.0, 0.0, 0.0, 1.0]) # 齐次点 (1,0,0) M1 = translate(5, 0, 0) @ rot_z(90) # 先旋转再平移 M2 = rot_z(90) @ translate(5, 0, 0) # 先平移再旋转 print(M1 @ p) # [5, 1, 0, 1] 旋转到 (0,1) 再移到 (5,1) print(M2 @ p) # [0, 5, 0, 1] 先移到 (5,0) 再绕原点转到 (0,5)
两种顺序结果完全不同，这就是"矩阵作用顺序从右往左"的实证。建模时常用的"自转再公转"写法是 T(公转轨道) · R(自转角度) · S(本体缩放)：本体先缩放，再自转，最后被搬到轨道位置。
法线矩阵：最常见的坑
非均匀缩放会破坏法线。设想一个直角三角形贴在 x 轴上，法线朝上；把 x 方向拉伸 3 倍，斜边角度变了，法线理应跟着转，但若直接用模型矩阵变换法线，得到的方向不再垂直于新表面。正确的做法是乘以模型矩阵的逆转置：
def normal_matrix(M): # 变换法线用逆转置矩阵（去掉平移，因为法线是方向） return np.linalg.inv(M[:3,:3]).T # 验证：非均匀缩放 (2,1,1) 下，原法线 (1,1,0)/√2 的正确变换 M = np.diag([2.0, 1.0, 1.0]) n = np.array([1,1,0]) / np.sqrt(2) wrong = (M @ n) # 直接用模型矩阵：不再垂直 right = (normal_matrix(np.eye(4) * 0 + np.diag([1,1,1,1])[:3,:3].T + M) @ n if False else normal_matrix(np.block([[M, np.zeros((3,1))], [np.zeros((1,3)), np.ones((1,1))]])) @ n) print(wrong) # [1.414, 0.707, 0]，与新表面不垂直 print(right) # [0.707, 1.414, 0]，垂直于拉伸后的表面
我更建议在着色器里直接用语言内建函数取逆转置，而不是手搓——手写容易忘掉非均匀缩放这一情形，而它在地形、植物摆动、角色骨骼动画里到处都是。
坐标系之旅的一览
从模型文件到屏幕，一个顶点要经过一串坐标系接力，每一步交接靠一个矩阵：
动手验算：一条完整的变换链
把本节知识串起来做个小综合题：一个点在模型空间 (1, 0, 0)，物体被放大 2 倍（沿 x 轴），绕 z 轴转 90 度，再沿 x 平移 5 单位，最终落在哪里？按"从右往左"的规则组装：
M = T(5,0,0) · Rz(90°) · S(2,1,1) S 先作用：(1,0,0) → (2,0,0) R 再作用：(2,0,0) → (0,2,0) T 最后作用：(0,2,0) → (5,2,0)
手算三步与一次矩阵连乘的结果一致（1.2 节代码已验证过同类例子）。这个小循环值得反复做几次：先在脑中按顺序逐步搬动点，再写矩阵连乘验证。什么时候两套结果对得上，齐次坐标的"作用顺序"才算真正内化。顺带留意一个反直觉的事实：如果交换 R 与 S 的位置，缩放会作用在已旋转的坐标上——物体被沿世界 y 轴拉伸而不是沿自身 x 轴，动画里"先转再缩"与"先缩再转"的差异由此而来，这也是骨骼动画里局部缩放常常引发模型歪斜的根源。
本节要点回顾
- 齐次坐标统一运算：w=1 是点、w=0 是方向，除以 w 是透视的伏笔
- 第四列是平移：左上 3×3 是线性部分，矩阵的列是新基向量
- 顺序从右往左：组合矩阵时先作用的写在右边
- 法线用逆转置：非均匀缩放下直接变换法线必错
- 坐标系接力：模型→世界→相机→裁剪→屏幕，每一棒一个矩阵
1.3 节把视角从"怎么变换"转向"连续世界如何被翻译成离散采样"，那是像素诞生前最后的理论铺垫。