1.1 向量与矩阵：像素的坐标语言

1.1 向量与矩阵：像素的坐标语言

本节摘要：向量描述位置与方向，矩阵描述变换，两者构成图形学的全部代数语言。本节讲透点积的"夹角判据"与叉积的"左右手判据"这两个最常用的几何工具，并给出矩阵乘法的最小实现与组合顺序的常见错误。它是全教程的第一站：后面投影、光栅化、光照，全都建立在这两个运算之上。

学习目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 用点积判断两个方向的夹角关系，并解释它在漫反射、背面剔除中的用法
2. 用叉积的符号判断点在向量的哪一侧、点是否在三角形内
3. 写出 3×3 矩阵乘法的实现，并验证矩阵乘法不满足交换律
4. 区分行向量左乘与列向量右乘两种约定，避免坐标系混乱

点积与叉积的几何分工

一、为什么图形学离不开向量

一个像素在出生之前，世界是这样的：模型文件里存着几百万个顶点坐标，每个坐标是三维空间中的一个向量；每个三角形有面法线，也是向量；光从某个方向照来，还是向量。图形学本质上是"一堆向量经过一堆矩阵，变成另一堆向量"的过程。

向量有两种身份：点和方向。点是"空间中的某处"，方向是"指向哪边，多长"。同一个三元组 (3, 2, 5)，当作点时表示从原点出发的位置，当作方向时只关心它的朝向与长度。这个区分在后面会反复出现——法线是方向，顶点是位置，平移矩阵影响位置但不该影响法线。

向量的长度（模长）由勾股定理给出：

模长 |v| = sqrt(x*x + y*y + z*z)
例：v = (3, 4, 0)，|v| = sqrt(9+16) = 5
单位化：v / |v| = (0.6, 0.8, 0)，长度变为 1
​

单位化是使用频率最高的操作之一：光照计算、视线方向、反射方向，全部要求先归一化，否则结果会随向量长度漂移。

二、点积：夹角的判据

点积把两个向量映射成一个数：

a·b = ax*bx + ay*by + az*bz = |a||b|cosθ
例：a=(1,0,0), b=(0,1,0)，a·b = 0，夹角 90 度
例：a=(1,0,0), b=(1,1,0)/√2，a·b = 0.7071，夹角 45 度
​

这个数携带了夹角信息，因此成为图形学里最密集使用的运算：

一个直观例子：桌面法线朝上 (0,1,0)，光从斜上方 45 度照来 L=(0.707,0.707,0)，点积为 0.707，桌面亮度约为正对光源时的七成。第 5 章的 Lambert 定律就是这一行代码。

def dot(a, b):
    # 三维点积：返回夹角余弦乘以两个模长
    return a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2]

n = (0.0, 1.0, 0.0)            # 桌面法线，已单位化
L = (0.707, 0.707, 0.0)        # 光照方向，已单位化
intensity = max(0.0, dot(L, n))
print(f"漫反射强度 = {intensity:.3f}")
# 输出: 漫反射强度 = 0.707
​

三、叉积：左右与内外

叉积 a×b 得到一个新向量，垂直于 a 和 b 所在平面，方向由右手定则决定。图形学里更常用它的两个派生判据：

叉积 a×b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by - ay*bx)
在二维中退化为一个数：ax*by - ay*bx，称为叉积 z 分量
z 分量 > 0：b 在 a 的逆时针一侧
z 分量 < 0：b 在 a 的顺时针一侧
z 分量 = 0：共线
​

经典应用是"点是否在三角形内"：对三角形三条边按同一绕向做叉积，符号一致即在内部。这正是第 3 章光栅化时判断某像素中心是否落入三角形的核心判断（工程实现常用更快的重心坐标，但原理同源）。

def cross_z(a, b):
    # 二维叉积的 z 分量：符号代表方向关系
    return a[0]*b[1] - a[1]*b[0]

def point_in_triangle(p, a, b, c):
    # 对三条边做同一绕向的叉积判断
    d1 = cross_z((b[0]-a[0], b[1]-a[1]), (p[0]-a[0], p[1]-a[1]))
    d2 = cross_z((c[0]-b[0], c[1]-b[1]), (p[0]-b[0], p[1]-b[1]))
    d3 = cross_z((a[0]-c[0], a[1]-c[1]), (p[0]-c[0], p[1]-c[1]))
    has_pos = d1 > 0 or d2 > 0 or d3 > 0
    has_neg = d1 < 0 or d2 < 0 or d3 < 0
    return not (has_pos and has_neg)

# 三角形 (0,0) (4,0) (0,4)，测试点 (1,1) 与 (3,3)
print(point_in_triangle((1,1), (0,0),(4,0),(0,4)))  # True
print(point_in_triangle((3,3), (0,0),(4,0),(0,4)))  # False
​

另一个必考点：叉积的模长等于两向量张成的平行四边形面积，三角形面积是它的一半。行列式求面积的公式就来自这里，网格体素化、面积加权法线都要用。

四、矩阵：变换的压缩包

矩阵可以看作"对向量的批量操作指令"。缩放矩阵把各分量乘系数；旋转矩阵由 cos 与 sin 排布而成；这些内容在 1.2 节展开。这里先给出乘法实现，并强调一个新手大坑。

def mat3_mul(A, B):
    # 3x3 矩阵乘法，结果 C = A·B
    return [[sum(A[i][k]*B[k][j] for k in range(3)) for j in range(3)]
            for i in range(3)]

import math
def rot_z(deg):
    # 绕 z 轴旋转的矩阵
    r = math.radians(deg); c, s = math.cos(r), math.sin(r)
    return [[c,-s,0],[s,c,0],[0,0,1]]

def scale(sx, sy):
    return [[sx,0,0],[0,sy,0],[0,0,1]]

# 先缩放再旋转：R·S（作用顺序从右往左）
M = mat3_mul(rot_z(90), scale(2, 1))
p = (1, 0)   # 先放大成 (2,0)，再旋转 90 度 → (0,2)
q = (M[0][0]*p[0]+M[0][1]*p[1], M[1][0]*p[0]+M[1][1]*p[1])
print(q)   # 输出约 (0.0, 2.0)
# 若换成 S·R：先旋转成 (0,1)，再缩放 x 轴 → (0,1)，结果完全不同
​

矩阵乘法不满足交换律，所以"先旋转再平移"和"先平移再旋转"是两件事。约定上，图形学界多用列向量、矩阵左乘（新矩阵乘在左边，作用顺序从右向左）；某些教材用行向量右乘，两种约定的矩阵互为转置。读不同资料时先看清约定，是避免坐标系精神错乱的第一课。

本节要点回顾

• 向量双身份：点表位置、方向表朝向，平移只影响前者
• 点积是夹角探针：单位化后即余弦，负值常被截断为 0
• 叉积是方向判据：二维看 z 分量符号判左右，三维判点在三角形内
• 矩阵是压缩的变换：乘法不可交换，组合顺序从右往左生效
• 先归一化再运算：光照与视线计算里最常见的前置动作

1.2 节把这些零件组装成完整的变换机器：齐次坐标如何让平移也走进矩阵大家庭。