4.3 透视投影、视锥裁剪与深度排序

4.3 透视投影、视锥裁剪与深度排序

本节摘要：投影是三维到二维的临门一脚：透视矩阵把视锥扭成一个规则六面体，透视除法（除以 w）实现近大远小，齐次裁剪以"比较绝对值"的低成本剔除视野外几何，深度值由此诞生，谁遮谁的问题交给 Z-buffer 解决。本节把 4.2 的相机空间一路送到第 3 章光栅化的门口，是"像素诞生记"主线最关键的一棒。

学习目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 推导透视投影的"除以 w"机制，解释近大远小的代数来源
2. 写出标准透视投影矩阵，说明各参数（视场角、宽高比、近平面、远平面）的位置
3. 说明齐次裁剪空间的六面约束与屏幕映射的视口变换
4. 手写 Z-buffer 算法，解释深度值的非线性分布与 z-fighting

近大远小的代数来源

针孔相机模型：三维点 (x, y, z) 在相机看向负 z 的约定下，投影到距离相机 d 的平面上。按相似三角形：

屏幕x = d · x / (-z)      屏幕y = d · y / (-z)
同一个 1 米高的物体：
  距相机 2 米：屏幕高 = d·1/2 = 0.5d
  距相机 5 米：屏幕高 = d·1/5 = 0.2d
远处的等大物体投影更小——透视的全部秘密就是除以深度
​

1.2 节埋的伏笔在此兑现：齐次坐标除以 w 的机制，正是为这一步准备的。透视矩阵把 -z 悄悄塞进 w 分量，随后的一次除法自然完成"除以深度"，这个设计让投影完全融入矩阵乘法体系，GPU 顶点阶段无需任何特殊指令。

标准透视矩阵与齐次裁剪

图形 API 约定投影后进入"齐次裁剪空间"：除以 w 之后，可见范围恰好是各分量绝对值 ≤1 的立方体。把视锥（近小远大的六面棱台）扭成这个立方体的矩阵：

透视投影矩阵 P（列向量约定，f=1/tan(视场角/2)，r=宽高比，n/f=近/远平面）：
 f/r  0   0              0
 0    f   0              0
 0    0   (f+n)/(n-f)    2fn/(n-f)
 0    0   -1             0
​

import numpy as np

def perspective(fov_deg, aspect, n, f):
    # 构造透视投影矩阵
    t = 1 / np.tan(np.radians(fov_deg) / 2)
    M = np.zeros((4,4))
    M[0,0] = t / aspect
    M[1,1] = t
    M[2,2] = (f+n) / (n-f)
    M[2,3] = 2*f*n / (n-f)
    M[3,2] = -1                    # 关键：把 -z 复制进 w
    return M

P = perspective(90, 1.0, 0.1, 100)
pts = [(0,0,-0.5), (0,0,-2), (0,0,-10)]     # 同一视线上的三个点
for p in pts:
    v = P @ np.array([*p, 1.0])
    ndc = v[:3] / v[3]                       # 透视除法
    print(f"深度 z={p[2]:6}: 裁剪w={v[3]:6.2f}  NDC={np.round(ndc,3)}")
# 输出:
# 深度 z=  -0.5: 裁剪w=  0.50  NDC=[ 0.  0.  -0.778]
# 深度 z=  -2.0: 裁剪w=  2.00  NDC=[ 0.  0.  0.111]
# 深度 z= -10.0: 裁剪w= 10.00  NDC=[ 0.  0.  0.889]
​

裁剪发生在除法之前：直接检查裁剪坐标 |x|≤w、|y|≤w、|z|≤w，六个平面全是简单比较——3.2 节的裁剪问题被投影矩阵精心设计成了几乎白送的形式。三角形与平面相交时，交点参数直接用于裁剪顶点属性（3.2 节的告诫在此同样成立）。

深度值藏着一个坑：NDC 的 z 分量不是线性分布。上面输出可见，近处 0.5 米就已映射到 -0.78，前 5% 的深度区间挤掉了几乎一半的精度。这是刻意设计：近处物体更醒目，精度优先给近处；代价是远处共面物体深度难分，出现斑驳闪烁的 z-fighting。工程修法：近平面在安全前提下尽量推远、两共面物体手工偏移、或用浮点深度缓冲。

谁遮住谁：深度排序三方案

投影压平了世界，重叠像素必须裁决归属。三种经典思路：

Z-buffer 胜在"逐像素、无需全局序、天然并行"，成为硬件标配：

def zbuffer_raster(tris, w, h):
    # tris: 每项含屏幕顶点、深度、颜色（简化：每三角形恒定深度）
    color = np.zeros((h, w, 3), dtype=np.uint8)
    depth = np.full((h, w), np.inf)            # 深度图初始化为无穷远
    for (vs, z, c) in tris:
        for (x, y) in vs:                      # 简化：逐像素枚举
            if z < depth[y, x]:                # 更近者胜出
                depth[y, x] = z
                color[y, x] = c
    return color, depth

frame, depth = zbuffer_raster(
    [([(3,3)], 5.0, (255,0,0)),      # 红色方块，远处
     ([(3,3)], 2.0, (0,0,255)),      # 蓝色方块，近处，同一像素
     ([(3,3)], 8.0, (0,255,0))], 8, 6)  # 绿色最远
print(frame[3,3], "胜出深度 =", depth[3,3])
# 输出: [  0   0 255] 胜出深度 = 2.0  蓝色（最近）覆盖红色与绿色
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画家算法并未退役：不透明物体先画粗略排序（前到后，配合提前深度测试省着色）、半透明物体后到前逐层混合——顺序错了半透明立刻浑浊，这是 6.3 节混合阶段的伏笔。

本节要点回顾

• 透视即除以深度：投影矩阵把 -z 写进 w，透视除法完成压平
• 裁剪空间是设计出来的：可见体扭成立方体，六面裁剪变成简单比较
• 深度分布非线性：精度向近处倾斜，z-fighting 是远处的代价
• Z-buffer 逐像素裁决：无需全局排序、天然并行，硬件标配
• 透明物体仍要排序：画家算法在不透明粗排与半透明细排中复活

第 4 站到站。像素已知道自己在哪、离相机多远，但它还不知道自己该是什么颜色——第 5 章，光照登场。