2.3 相空间分析工具：从相线到相平面

2.3 相空间分析工具：从相线到相平面

本节摘要：定义先行——相线是一维相空间的"交通流向图"：按 f(x) 的正负给数轴画箭头，平衡点立刻现形；相平面是二维的完整地图：零倾线定位平衡点、局部线性化定类型、分界线勾出吸引域。本节给出一套"读图三步法"，并用单摆相图示范：同一个摆，摆动、旋转与分界线在相平面上如何各占一方。

本节上承 2.1 的向量场概念，把"画图"落成操作规程；它也是单变量对多变量这组对照轴的主场——维数每加一，可用的现象与工具就换一代。

先把地图摊开：一维相线

一维系统 dx/dt = f(x) 的相图就是一条数轴：f>0 的区段画右向箭头，f<0 画左向箭头，f=0 的点是平衡点。判断稳定性只看箭头：两侧箭头都指向它，稳定；都背离，不稳定。以 dx/dt = sin x 为例：x=0 处两侧箭头同向（左侧 f<0 向左、右侧 f>0 向右）背离而去，不稳定；x=π 处两侧箭头相对涌入，稳定——无穷多个平衡点稳定与不稳定交替排开，这是非线性系统（多平衡）与线性系统（至多一个）在图面上的直观区别。

相线的局限同样直观：箭头只有一个方向，轨道永不回头，所以一维连续流没有振荡。信息量的天花板在维数——升到二维，箭头变成平面上的方向场，轨道可以绕圈，新世界打开。

图：相线与相平面：单变量对多变量

相平面：读图三步法

二维系统 x' = f(x, y)、y' = g(x, y) 的地图上，按下面三步走可以机械地读出骨架，建议把口诀背下来——找点、定型、划界：

第一步，找点。 令两个分量同时为零：曲线 f=0 与 g=0 叫零倾线（轨道与横轴或纵轴相切的位置），两线的交点就是全部平衡点。零倾线把"求平衡"从解方程变成了找交点，多平衡系统（第三章的双稳）在这步现形。

第二步，定型。 在每个平衡点处算雅可比矩阵、求特征值，套用 2.1 节的四分类表。零倾线还白送一套方向感：f=0 线上轨道竖穿、g=0 线上横穿，四个象限的箭头走向立刻可画。

第三步，划界。 鞍点的稳定流形（沿它靠近鞍点的方向）往往就是吸引域的边界——分界线。分界线两侧的初值，命运截然不同。单摆相图是最干净的示范：倒立点（鞍）的稳定流形围成一只"眼睛"，眼内初值做衰减摆动（围绕悬垂点的闭合或螺旋轨道），眼外初值转整圈（旋转轨道，角度单调增长）。图上那条橙线不是装饰，它是"摆过去还是转过去"的命运分水岭。

下面二十行代码画出这张图，亲手跑一遍胜过看十遍：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

def pendulum(_t, s):                 # 无阻尼单摆：theta' = omega, omega' = -sin(theta)
    theta, omega = s
    return [omega, -np.sin(theta)]

plt.figure(figsize=(7, 4))
for theta0 in np.linspace(-2.8, 2.8, 13):        # 一排初值
    for omega0 in (0.0, 1.5, 2.2, 3.0):
        sol = solve_ivp(pendulum, [0, 20], [theta0, omega0],
                        rtol=1e-9, dense_output=True)
        ts = np.linspace(0, 20, 600)
        plt.plot(sol.sol(ts)[0], sol.sol(ts)[1], lw=0.7, color="#2B6CB0")
plt.axhline(0, color="#C05621", lw=0.8)
plt.xlabel("theta"); plt.ylabel("omega"); plt.tight_layout(); plt.show()
​

跑出的图里，绕原点的一圈圈闭合曲线是摆动；上下两支波浪形开放曲线是旋转；两者之间擦着 (±π, 0)（鞍点）而过的是分界线。解读：能量视角一句话说透——无阻尼摆能量守恒，每条轨道对应一条等能线；分界线恰是能量等于倒立点势能的等能线。变式：加上阻尼项 −0.3ω 重新跑，闭合圈全部塌成螺旋卷向原点——这正是 2.5 节保守对耗散的图像预告。

三个常见读图错误值得预先点名。错误一：轨道画成交叉——除在平衡点外，交叉必是手误或数值步长过大，2.1 节的唯一性定理是它的免检通行证。错误二：零倾线找全了、平衡点漏了——两族零倾线的每一个交点都要验，非线性系统常有三五个平衡点，漏掉的那个往往是控制全局的鞍点。错误三：把分界线画成"从鞍点出发的随意曲线"——分界线是鞍点的稳定流形本身，方向由特征向量定，画歪一条，整个吸引域的版图就判错了。判读正确后，这套语言可以在环面上继续：准周期轨道绕环而行，截面（5.3 节）上留下闭合曲线——相图语言的边界，也正是它的下一站。还有一条口诀适用范围要记：三步法对二维与柱面自治系统最锋利，强非自治系统先自治化再用。

问题：相图画不出来时怎么办？

高维系统（四维以上）无法直画相图，但相图的语言并未失效，退化方案有三。投影——把轨道投到选定的两个变量平面上，接受投影交叉但保留拓扑直觉；截面——只看轨道与某平面的交点，维数降一（5.3 节正式展开）；延迟嵌入——只有一个可观测量时，用时间延迟副本拼出伪相空间（5.4 节）。三招的本质相同：画不下全图，就取图上信息量最大的一片来读，多数工程判断（稳不稳、振不振、乱不乱）在这一片上就能裁决。顺带交代一条纪律：投影图上看到的"交叉"不作数，唯有截面与嵌入的结论可以写进报告。

本节要点回顾

• 相线口诀：正负定箭头，夹住则稳、背离则不稳；一维流的宿命是单调。
• 相平面三步法：找点（零倾线交点）、定型（雅可比特征值）、划界（鞍点稳定流形即分界线）。
• 轨道不相交是过目不忘的检查器：画出的相图若有交叉，必是画错了或系统不光滑。
• 单摆相图：眼内摆动、眼外旋转，分界线是能量等值线——几何与能量两种语言在此重合。

骨架会画了，下一节回答本章最硬的问题：平衡点稳不稳，到底该信哪把尺子。