3.3 反馈：开环与闭环的得失败局

3.3 反馈理论：开环的裸奔与闭环的代价

本节摘要：负反馈方程闭环增益等于前向增益除以1加环路增益，这一行公式同时解释了四桩交易：精度（灵敏度除以1加T）、线性度（失真除以1加T）、阻抗改造（串联乘1加T、并联除以1加T）、带宽（单极点系统乘1加T）。本节对照开环与闭环的完整得失清单、四种反馈拓扑的阻抗改造矩阵，最后用相位裕度讨论"反馈什么时候从良药变毒药"，60度口径由此而来。

前两节建立的Bode图工具在这里派上用场：反馈把开环特性重新编织，代价与收益都在同一条环路增益曲线上读出。

一、一行公式的四桩交易

设前向增益A、反馈系数beta，环路增益T等于A乘beta，闭环增益为A除以1加Abeta。当T远大于1时近似1除beta——增益只由反馈网络决定，与放大器的漂移、非线性、工艺波动全部脱钩。这不是一个新公式，而是四桩交易的总账本。精度：A变化百分之十，闭环增益只变化约百分之十除以（1加T），T等于100时只剩千分之一。线性度：失真产物同样被1加T压缩，开环1%失真的放大器在T等于100的闭环里失真约0.01%。带宽：单极点开环增益A除以1加jf除fp，套上反馈后极点被推到fp乘（1加T）——增益带宽积守恒：你放弃的增益（除以1加T）恰好换来了带宽（乘1加T），两者乘积不变。这条守恒律是第4章运放所有"用增益带宽积说话"的根据。阻抗：见下节的拓扑矩阵。

对照清单同样诚实地列出代价。增益本身缩水1加T倍；环路中的延迟积累相位滞后，可能把负反馈变成正反馈引发振荡——收益买的是"条件稳定"下的期货；噪声方面反馈电阻引入热噪声、反馈网络自身误差直接进闭环增益。开环的裸奔（增益高但不精确、非线性、漂移）与闭环的规训（精确、线性、稳定但增益缩水且需付稳定性租金）构成模拟设计里最重要的一组对照。

二、四种拓扑：反馈网络怎么接，阻抗就往哪改

反馈网络从输出取信号有两种方式（电压并联取样、电流串联取样），往输入加信号也有两种（电压串联求和、电流并联求和），组合出四种拓扑。记忆规则一句话：输出端并联取样降低输出阻抗，串联取样升高；输入端串联求和升高输入阻抗，并联求和降低——所有改造幅度都是乘或除以1加T。

图：四种反馈拓扑对照

三、稳定性的代价：相位裕度与60度口径

环路增益T随频率下降，同时相位在累积。当T的幅值降到1（穿越频率）时，若相位滞后接近180度，闭环极点冲向虚轴，阶跃响应振铃乃至振荡。相位裕度定义为穿越频率处180度减去实际滞后相位。工程口径60度：对应闭环品质因数约0.6、阻尼良好，阶跃过冲约百分之十；45度过冲约百分之二十三，勉强能用；30度以下振铃明显，一般不合格。60度不是物理常数，而是"稳态误差、建立时间、过冲三者都体面"的经验折中。

单极点系统天然90度裕度，永不振荡；两极点系统最坏180度，裕度取决于两极点间距；三极点以上必做补偿。补偿的基本动作就是第3.1节的密勒工具：在第二级跨接电容，把主极点压低、次极点推开，使穿越发生在斜率负20分贝每十倍频的段上，保住60度。细节（补偿电容取0.3倍负载电容、调零电阻消右半平面零点）在4.2节展开，此处先立框架。

一个把得失算穿的例子：开环增益80分贝（一万倍）、主极点10赫兹的运放，接成10倍同相放大。环路增益等于开环除以闭环等于一千，带宽从10赫兹推到10乘一千等于10千赫兹，闭环增益误差约千分之一，失真压低一千倍——增益从一万缩到十，换来这三样。增益带宽积始终是10乘10赫兹乘一万等于100千赫兹量级不变，你只是重新分配了它。

⚠️ 常见坑：把容性负载直接挂在高输出阻抗运放上。负载电容与输出电阻形成新极点，若落在穿越频率附近，相位裕度瞬间清零，输出振铃。对策是输出串几十欧隔离电阻把极点变零点（-out-of-loop补偿），或在反馈里加电容做超前补偿——第4章摆率与容性负载讨论会再遇到它。

本节要点回顾

• 总账本：闭环增益A除以1加Abeta，T大时趋近1除beta，精度、线性度同除1加T
• 增益带宽积守恒：单极点系统闭环带宽乘1加T、增益除1加T，乘积不变，运放手册的核心指标
• 阻抗改造口诀：串联升、并联降，幅度一律1加T；四种拓扑矩阵按取样与求和方式查表
• 相位裕度：穿越频率处离180度的余量，60度过冲约10%，45度勉强，30度不合格
• 补偿即重排极点：密勒电容压主极点推次极点，让穿越发生在负20分贝段
• 算例锚点：80分贝开环、10赫兹主极点接10倍闭环，带宽10千赫、误差千分之一

延伸：负载阻抗进入环路之后的二次博弈

反馈设计在接上真实负载后才算完。容性负载与输出电阻构成额外极点，落在穿越频率附近就把相位裕度吃光；感性负载（长线缆、电感类执行器）则与输出电容形成谐振，某些频段环路增益反向。对策的思路仍然是重新分配极点：输出串小电阻把负载极点变成阻尼好的组合（环路外补偿，代价是直流精度与输出阻抗），或反馈网络里加超前电容制造左半平面零点抬高相位（环路内补偿，代价是高频噪声直通）。两种接法在音频功放与电源模块里各有地盘，选错不致命但性能平庸。

另一个值得展开的对照是电压模与电流模反馈的速度差异：电压模反馈的带宽受增益带宽积守恒约束（本章主线），电流模反馈的带宽由反馈电阻与补偿电容直接设定、理论上不受增益档位影响——大增益档位下还能保带宽，代价是反馈电阻取值受限且对寄生电感敏感。射频与视频放大器偏爱电流模的原因就在这里。两种模态的对照再次呼应本章主旨：反馈的每一个收益都有价签，价签的币种随拓扑改变。

• 补一条对策序：负载极点先算位置，环路外串电阻或环路内加超前，按精度与噪声权衡选择