1.2 传递函数与拉普拉斯变换

1.2 传递函数与拉普拉斯变换

本节摘要：拉普拉斯变换把微分方程变成代数方程，传递函数则是在零初始条件下输出与输入拉氏变换之比，是单输入单输出系统的标准名片。本节完成从物理微分方程到传递函数的完整推导，并用 MATLAB 做零极点分析与阶跃响应验证。

承接 1.1 节的方框图结构：方块里写的到底是什么？本节给出第一种答案——传递函数；1.3 节给出第二种——状态空间。两条路在章末汇合。

一、为什么需要拉普拉斯变换

对电机、弹簧、电路列方程，得到的都是微分方程。微分方程的麻烦在于"求"：两个环节串联，解要叠；引入反馈，方程要联立消元。工程上更希望像代数那样直接乘除加减。

拉普拉斯变换提供了这个杠杆：把时间的函数映射为复变量 s 的函数，微分变成乘 s，积分变成除 s。于是串联环节相乘、并联环节相加、反馈环用 1 加环路函数去除——系统的运算从微积分降级为四则运算。代价是所有推导都发生在 s 域，最后还要变回时间域看真实曲线；好在 MATLAB 的 step 与 impulse 替我们做了最后一步。

二、从一个弹簧质量阻尼系统推出传递函数

经典对象：质量 m、阻尼系数 c、弹簧刚度 k，外力 u 拉动质量块位移 y。牛顿定律给出：

m 乘以 y 的二阶导数，加 c 乘以 y 的一阶导数，加 k 乘以 y，等于 u。

零初始条件下逐项做拉氏变换（每求一次导相当于乘一个 s），得到：

分子就是 u 的变换 U，分母是 m s 平方加 c s 加 k 乘以 Y。整理成标准的"输出比输入"：

% 取 m=1kg, c=2 N·s/m, k=5 N/m
m = 1; c = 2; k = 5;
G = tf(1, [m c k]);        % 传递函数：分子1，分母 s平方+2s+5
G
% 输出：
%   1
%  ----------
%  s^2 + 2 s + 5
​

这串分式就是系统的名片：分母多项式叫特征多项式，令它为零解出的根是极点；分子多项式的根是零点。极点决定系统天生的动态性格——衰减快慢、振荡频率；零点决定各模态在响应里露脸的权重。查一下这对极点：

damp(G)
% 输出（数值近似）：
%   极点        阻尼比      固有频率
%  -1+2i       0.447       2.236
%  -1-2i       0.447       2.236
% 结论：共轭极点落在左半平面，系统稳定，阻尼比约0.45，会有一轮可见振荡
​

极点实部 -1 意味着振荡包络按指数 e 的负 t 次衰减，虚部 2 是阻尼振荡角频率。这些数字在 step 曲线上都能对上号。

三、典型环节与组合运算

复杂系统往往能拆成几种典型环节的串并联：比例环节（纯增益）、积分环节（1 除 s，输出是输入的累积）、微分环节（s，输出反映输入变化率）、惯性环节（增益除以一阶多项式）、振荡环节（二阶欠阻尼）、延迟环节（延迟 t 时间的传递因子是负 t 乘 s 的指数）。记住它们的阶跃响应形态，看极零点就能大致默画出系统行为，这是控制工程师的看家本领。

组合运算规则四条就够用：串联相乘、并联相加、反馈用公式（前向通道除以 1 加或减环路乘积，负反馈取加）、干扰注入点之后单独算。MATLAB 里对应的算子直接支持这些运算：

G1 = tf(1,[1 2 5]);           % 对象
G2 = tf(2,[0.5 1]);           % 执行机构近似为一个惯性环节
Topen = G1*G2                 % 串联：分母多项式直接相乘展开
% 输出：4 除以 (s立方 + 4 s平方 + 9 s + 10) ... 数值按展开计算

Kc = 4;
Tcl = feedback(Kc*G1*G2, 1);  % 单位负反馈闭环
pole(Tcl)
% 输出：三个极点，实部均为负，闭环稳定
% 阶跃响应可见约百分之二十的超调与两秒级的调节时间
step(Tcl); grid on;
​

值得体会的是 feedback 这一步：在时间域里它对应联立微分方程消元，在 s 域里只是一次分式除法。整个经典控制理论的大厦就建在这个便利上。

四、拉氏变换的三个常用性质

推导和查表时最常用三条。线性：叠加原理，多个输入的响应等于各自响应之和，这让扰动分析与指令分析可以分开做。微分定理：一阶导乘一个 s 并补初值项，零初始条件下就是纯乘 s——传递函数定义里"零初始条件"四个字就是在买这个便宜。终值定理：时间趋于无穷的输出值等于 s 乘输出变换在 s 趋于零处的极限，前提是系统稳定。用它口算稳态误差极快：

% 上例闭环，单位阶跃输入的终值
% s 乘 Tcl 再令 s 趋于 0：分子常数项比 分母常数项
% Tcl 的分子是 8，分母 s=0 时为 14，终值 = 8/14 约 0.571
% 说明纯比例控制下存在稳态误差约 0.43，第三章加大增益或加积分才能消除
​

终值定理用在不稳定系统上会给出貌似合理的错误答案，务必先判稳再用。

五、拉氏变换对与初值条件

几张常用变换对应记，推导时省查表：单位阶跃对应 1 除 s；单位斜坡对应 1 除 s 平方；指数衰减 e 的负 a t 次方对应 1 除 s 加 a；正弦对应 omega 除 s 平方加 omega 平方；而延迟 t 乘 d 秒的函数对应原变换乘 e 的负 d s 次方——延迟环节的传函因子正是它，这也是延迟比惯性更难缠的根源：它在奈奎斯特图上转圈、在伯德图上砍相位却不减幅值，第五章会专门回到这一点。

传递函数定义里"零初始条件"不是可有可无的脚注。初值非零时，微分定理会多出初值项，输出比输入的比值不再是传函。处理办法是把非零初值折算成等效的附加输入（初值等效源），或者干脆在状态空间框架里处理——状态空间天然携带初值信息，这是 1.3 节要出场的理由之一。工程上多数稳态设计的确从零初值出发，但启动过程分析（电机带初速、电容带残压）必须在意这一条。

六、零极点的几何读法

极零图是传递函数的速写：极点是分母为零的点（响应的"源头"），零点是分子为零的点（响应的"陷阱"），整条幅频曲线由各点到扫频点的距离比决定。离虚轴近的极点话语权大——这正是 2.2 节主导极点近似的几何依据。养成看极零图先找"谁离虚轴最近"的习惯，多数定性判断在画图阶段就能完成。

本节要点回顾

• 拉氏变换的角色：微分变乘法，系统分析降级为分式四则运算；
• 传递函数定义：零初始条件下输出与输入拉氏变换之比，分母定性格（极点），分子定权重（零点）；
• 极点即命运：实部决定收敛速度，虚部决定振荡频率，damp 命令一次读出；
• 组合四规则：串乘并加、反馈公式、干扰分开算，对应 MATLAB 的乘号与 feedback；
• 终值定理：口算稳态误差的利器，但只对稳定系统合法。

下一节换一个更深的镜头：不只描述输出，还要看见系统内部的状态。