1.3 状态空间与物理系统建模
1.3 状态空间与物理系统建模
本节摘要：状态空间模型用一组一阶微分方程描述系统内部状态的演化，是处理多输入多输出系统的标准语言。本节从机械与电气两个物理装置出发建立状态方程，讨论状态变量选取、模型线性化，并演示传递函数与状态空间的互转和最小实现判定。
承接 1.2 节：传递函数只描述"输入到输出"的外部关系，看不见内部。一旦系统多变量、或需要利用内部信息做控制（第四章），外部描述就不够用了——本节补上内部描述这半边，并完成两种模型的等价互转。
一、状态是什么
把系统想象成一排储钱罐：每个罐子存着一个随时间演化的量（位置、速度、电流、温度），当前罐子里的钱数合起来叫状态向量。知道状态和从现在起的输入，就能算出系统此后全部行为——这是状态的定义性性质。输入怎么改变各罐子的余额，写成一阶微分方程组，就是状态方程；从状态怎么读出关心的输出，是输出方程。合起来：状态导数等于 A 阵乘状态加 B 阵乘输入，输出等于 C 阵乘状态加 D 阵乘输入。A 的特征值恰好就是传递函数的极点，两种描述在这里暗中相通。
二、机械系统实战：倒立摆台车
经典难题对象：小车上一根摆杆，水平力 u 推小车，目标是将来让摆立住。对小车质量 M、摆质量 m、摆长之半 l、重力加速度 g，在摆角很小（弧度级）的假设下线性化，取状态为小车位置、小车速度、摆角、摆角速度，得到四阶状态方程。MATLAB 里直接用经典参数组起来：
M = 0.5; m = 0.2; l = 0.3; g = 9.8; % 单位：千克、米 p = m/(M+m); % 中间量 A = [0 1 0 0; 0 0 -p*g/M 0; 0 0 0 1; 0 0 (M+m)*g/(M*l) 0]; % 线性化后的系统矩阵 B = [0; 1/M; 0; -1/(M*l)]; % 输入矩阵 C = [1 0 0 0]; % 只测小车位置 D = 0; sys = ss(A,B,C,D); % 建立状态空间模型 eig(A) % 输出四个特征值（近似）： % 0, 0, 5.94, -5.94 % 解读：原点处两个零特征值来自小车位置的积分性质； % 正实部 5.94 表明开环摆不稳定——这正是它难驯服的数学根源
这段输出值得盯十秒：正特征值就是发散速率。摆歪一度，不管它，它按指数 e 的 5.94 倍 t 秒放大，一秒放大近四百倍。第四章的极点配置要做的就是把这几个特征值搬到左半平面。
三、电气系统实战：RLC 网络
同一套流程搬到电路。电阻 R、电感 L、电容 C 串联，电压源 u 为输入，电容电压为输出。取电感电流与电容电压为状态（它们恰好对应磁场与电场储能，物理含义干净），列基尔霍夫电压方程即得状态方程。MATLAB 验证：
R = 1; L = 0.1; C = 0.4; A = [0 -1/L; 1/C -1/(R*C)]; % 状态：电感电流、电容电压 B = [1/L; 0]; Cm = [0 1]; % 输出取电容电压 sysRLC = ss(A,B,Cm,0); tf(sysRLC) % 输出：10 除以 (s平方 + 2.5 s + 10) % 即一个固有频率约3.16、阻尼比约0.4的振荡环节 damp(tf(sysRLC)) % 输出：极点 -1.25 加减 2.8i，阻尼比 0.407
机械与电气模型长得一样，这不是巧合——机电相似性：质量对电感、阻尼对电阻、刚度对电容倒数。掌握一个域，另一个域免费赠送。
四、建模一般流程与线性化
把 1.1 到 1.3 的建模手法总结成可复用的流程：第一，确定输入输出与需要的状态量，储能元件的量（速度、电流、温度）优先做状态；第二，用物理定律（牛顿、基尔霍夫、热平衡、流量平衡）列原始方程；第三，消去中间变量，整理成一阶方程组的标准形；第四，选定 A、B、C、D 进 MATLAB 验证。
物理定律多半给出非线性方程：摆角大了、热容随温度变、阀的流量特性是曲线。线性化的标准动作是：找一个工作点，把非线性函数在工作点处做泰勒展开只留一次项，得到"偏差变量"意义下的线性模型。倒立摆那步已经悄悄做过了。要点是线性模型只在工作点附近有效，摆角超过二十度后 5.94 这个数就开始骗人。第五章处理大范围非线性时会放弃这层近似。
五、两种模型的互转
G = tf(1,[1 2 5]); ssmin = ss(G) % 转成状态空间（自动给最小实现） % 输出：二阶实现，A 阵为伴随标准形 [0 1; -5 -2] tf(ssmin) % 再转回传递函数 % 输出：还原为 1 除以 s平方加2s加5，闭环验证通过 % 非最小实现的例子：加一个对消的零极点 G2 = tf([1 1],[1 2 5]) * tf([1 2],[1 1]); % 零点-1 与极点-1 对消 ssG2 = ss(tf([1 2],[1 2 7 10])); % 若实现含隐藏模态 order(ssG2) % 输出：3
从传递函数转状态空间，实现不唯一——内部维数可以比外部阶次高，多出来的部分是隐藏模态（被零极点对消的极点）。工程上几乎总用最小实现；但做控制器设计时要当心：对消掉的模态没消失，只是从输入输出关系中隐身，它在内部照样演化，第五章鲁棒分析会给它特写。
六、热力与流体对象一句话建模
同一套流程对热工对象同样有效，只换物理定律。单容加热水箱：热容 C 乘温度变化率等于加热功率减去散热项，散热又近似与温差成正比，整理即得一阶惯性环节，时间常数等于热容除散热系数。流入流出有物料的混合槽再多一个质量守恒方程，阶数加一。流体环节的长输管路近似纯延迟（传输滞后），这是热工对象普遍"大滞后"的物理来源，也是第七章精馏案例里 Smith 预估要对付的对象。建模时的取舍：先抓主导的储能环节，忽略次要热容，一阶加延迟（FOPDT）能覆盖过程工业八成建模需求，比盲目堆高阶模型实用得多。
本节要点回顾
- 状态空间的身份：一阶方程组加代数输出方程，A 阵特征值即系统极点；
- 建模流程四步：选状态、列定律、标准化、机器验证；储能变量优先做状态；
- 线性化的边界：工作点附近的一次泰勒近似，偏离工作点即失真；
- 机电相似：质量电感、阻尼电阻、刚度电容倒数，一套直觉两个域通用；
- 实现不唯一：非最小实现藏有对消模态，最小实现是默认安全选择。
第一章到此收官：方框图、传递函数、状态空间三件武器在手，下一章开始给系统做体检。