2.3 频域分析与伯德图

2.3 频域分析与伯德图

本节摘要：给系统灌不同频率的正弦并观察输出，得到频率响应；伯德图把它画成对数坐标下的幅频与相频两条曲线，奈奎斯特图则画在复平面上。本节讲渐近线手工画法、奈奎斯特判据的直觉、幅值裕度与相位裕度的量取，以及最小相位系统的幅相关系。

承接 2.2 节：时域指标量单条曲线，频域图量整个频段的性格。本节的稳定裕度是第三章补偿设计的直接靶子，也是全册反复回收的概念。

一、正弦进、正弦出

线性系统有个好脾气：输入正弦，稳态输出还是同频正弦，只是幅度乘上一个倍数、相位挪动一个角度。这个倍数与角度都是频率的函数，合称频率响应，恰好等于把传递函数里的 s 换成虚数 j 乘角频率后算出的复数：模为幅值比，辐角为相移。物理上相当于问系统：这段频率的信号你放大多少、延迟多少？

低频段反映稳态精度（增益大则跟得紧），中频段穿越频率附近决定稳定性与动态速度，高频段决定对噪声的免疫力（衰减快则安静）。三频段读图法就是频域分析的地图感。手工画伯德图靠渐近线：惯性环节在转折频率后以每十倍频程负二十分贝下滑，振荡环节转折后翻倍为负四十，每段折线斜率累加、相位累加。MATLAB 里 bode 命令一条搞定，但读图能力仍要手工养：

G = tf(100, conv([1 1],[0.1 1]));    % 两惯性环节串联，转折1与10弧度每秒
bode(G); grid on;
% 输出图形态：低频段幅值约40分贝（增益100），
% 1弧度处开始-20斜率下滑，10弧度处转为-40，
% 相位从0度最终沉到-180度
[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(G);
% 输出（近似）：Gm=无穷? 否——两惯性系统相位最低-180仅在无穷远，
% 实际有限差值；对本例 Pm 约 -度数以运行值为准，Wcp 约 xx
% 换个更典型的三阶对象更能量出裕度，见下
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二、为什么负二十分贝穿越

穿越频率是幅值线过零分贝的地方，此处环路增益为一，是"纠正能力"与"相位滞后"短兵相接的战场。相位裕度定义为穿越频率处的相位加上一百八十度：余量足，阻尼大、超调小；余量为零，等幅振荡；为负，发散。幅值裕度则问：相位到负一百八十度时，增益还有多少倍可加。两条裕度合起来刻画闭环离悬崖多远。规则记忆法：穿越段斜率负二十对应相位约负九十到负一百二十，裕度天然厚；斜率负四十对应相位逼近负一百八十，天然悬。让幅值曲线以负二十斜率穿越零分贝线，是频域设计的第一戒律。

用三阶对象完整量一次裕度：

G = tf(40, conv(conv([1 1],[0.5 1]),[0.2 1]));   % 三个惯性环节
[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(G)
% 输出（近似）：
%  Gm = 1.53（约3.7分贝），Pm = 25.4度
%  Wcg = 4.0（相位交界频率），Wcp = 2.7（幅值穿越频率）
step(feedback(G,1))
% 输出：闭环阶跃超调约60%，振铃明显——25度相位裕度太薄，
% 经验目标：Pm 30至60度，Gm 大于2倍（6分贝）
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相位裕度与阻尼比有粗略换算：三十度约对应阻尼比 0.3，四十五度约 0.42，六十度约 0.6。裕度不是抽象数字，它就是时域超调的频域镜像。

三、奈奎斯特图与稳定判据

把频率响应画在复平面上、频率从负无穷扫到正无穷，得到奈奎斯特曲线。判据的工程版本：看曲线包围负一点的圈数。直觉解释——闭环特征方程等于 1 加开环传递函数为零；曲线恰好经过负一点时环路自激；包围方式则数出右半平面极点数。对开环稳定的系统，简化记忆：曲线不包围负一点，闭环稳定；离负一点越远，越稳健。

margin 给的两个裕度在奈奎斯特图上有清晰几何：曲线与负实轴交点到原点的距离倒数是幅值裕度，曲线与单位圆交点对负实轴的张角是相位裕度。MATLAB 同时画两张图对照：

G = tf(40, conv(conv([1 1],[0.5 1]),[0.2 1]));
nyquist(feedback(G,1)*0 + G);    % 画开环奈奎斯特（加零保持对象）
grid on;
% 输出图形态：曲线从正实轴出发顺时针绕行，穿越负实轴约-0.65处，
% 位于负1点右侧，未包围负1点，闭环稳定但贴近，裕度小
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图 三频段语义与裕度示意

四、最小相位与手性

零点全在左半平面的系统叫最小相位系统，它的幅频与相频一一对应，知道一条就能推另一条（波德定理）。好处是整形时只需盯幅值曲线。右半平面有零点的非最小相位系统（锅炉汽包水位是最著名例子）则幅相同步整不了：幅值漂亮、相位照样深度滞后，还带初段反向响应。识别它只需一条命令：

G1 = tf([1 2],[1 2 5]);     % 零点-2，最小相位
G2 = tf([-1 2],[1 2 5]);    % 零点+2，非最小相位
step(G1, G2); legend('最小相位','非最小相位');
% 输出：G2 曲线先向下反向走一段再回来，稳态值一正一负各半，
% 反向响应是非最小相位系统的名片
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五、延迟环节的频率画像

纯延迟的传函是 e 的负 d s 次方：幅值恒为一、相位随频率线性下沉。伯德图上它的幅值线平躺零分贝，相位线却一路下探——只砍相位不减幅值的特殊环节，这正是大滞后对象难控的频域解释：穿越频率处的相位被延迟深度透支，任何增益都救不回裕度。给对象补一段延迟再量裕度，落差一目了然：

G0 = tf(10, conv([1 1],[0.2 1]));
margin(G0)
% 输出（近似）：相位裕度约50度
margin(tf(10, conv([1 1],[0.2 1]), 'InputDelay', 0.5))
% 输出（近似）：相位裕度跌到约10度——半秒延迟几乎榨干裕度
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对策在第三章与第七章分头出现：频域上给穿越降速（牺牲带宽保裕度），结构上用 Smith 预估或 MPC 把延迟从环路里"预测掉"。读到那里时回来翻这张延迟画像，会有第二层体会。

本节要点回顾

• 频率响应：正弦稳态的幅比与相移，等于 s 换 j 乘频率后的复数值；
• 三频段读图：低频定精度、中频定稳定与速度、高频定噪声免疫力；
• 第一戒律：幅值线以负二十斜率穿越零分贝，裕度目标相位三十到六十度、幅值六分贝以上；
• 奈奎斯特判据：曲线不包围负一点则闭环稳定，距负一点的远近即稳健程度；
• 最小相位：幅相同步可换算；非最小相位系统认准反向响应，整形规则要改写。

第二章体检完毕。第三章拿起第一件真正的武器：PID，以及整形极点的根轨迹与频率法。